Terme general d'una progressió aritmètica
La fórmula per calcular el terme general d'una progressió aritmètica és:
=
+
·(
- 1)
En què
és el primer terme de la progressió i
, la diferència.
Quin és el terme general d'aquesta progressió geomètrica si
= 4 ?
4, 8, 12, 16, 20, 24 ...
= 4
=
+
·(
- 1)
= 4 + 4 · (n - 1) = 4 + (4 · n) - 4
= 4 + (4 · n) - 4
Com calculem ara
si tenim el terme general que és 4 + (4 · n) - 4 ?
= 4 + (4 · 13) - 4 = 52
= 52
Considerem una progressió aritmètica
, de manera que la diferència sigui
. Anem a demostrar que el terme general és
Ho raonarem de manera inductiva a partir de
, després
i així successivament.
Aprofitant que existeix una diferència
entre termes...
- El terme 2 es pot calcular com:
![{\displaystyle a_{2}=a_{1}+d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bba7a3f32ac90d73b039c4a6325e9c46addc565)
- El terme 3 es pot calcular com:
![{\displaystyle a_{3}=a_{2}+d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fb5559be3b019f166c8cde78329c842d5c940c6)
- però substituint:
![{\displaystyle a_{3}=a_{1}+d+d=a_{1}+2d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/045aa9d3e9540618b19ac9c784a16a98596c8350)
- El terme 4 es pot calcular com:
![{\displaystyle a_{4}=a_{3}+d=a_{1}+2d+d=a_{1}+3d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15750bd66c4ae899d9f03e03ec41977dca47e582)
Seguint així arribaríem a veure que
![{\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d=a_{1}+(n-1)d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fae94574bbb0cbda1d6c6cda917b242fba2cbd2e)
Això demostra el que volíem.