Matemàtiques (nivell ESO)/Progressions aritmètiques

Progressions aritmètiques

Terme general d'una progressió aritmètica

del llibre Matemàtiques (nivell ESO)

Definició

Una progressió aritmètica és una successió en què obtenim cada terme (excepte el primer) a partir de l'anterior més un nombre fix, anomenat ${\begin{matrix}d\end{matrix}}$ , que representa la diferència de la progressió.

En totes les progressions aritmètiques ${\begin{matrix}a_{2}\end{matrix}}$ - ${\begin{matrix}a_{1}\end{matrix}}$ = ${\begin{matrix}a_{3}\end{matrix}}$ - ${\begin{matrix}a_{2}\end{matrix}}$ = ... = ${\begin{matrix}a_{9}\end{matrix}}$ - ${\begin{matrix}a_{8}\end{matrix}}$ = ... = ${\begin{matrix}d\end{matrix}}$

Exemple:

Aquestes successions són progressions aritmètiques?

a) 3, 6, 9, 12, 15, 18 ...

${\begin{matrix}a_{2}\end{matrix}}$ - ${\begin{matrix}a_{1}\end{matrix}}$ = ${\begin{matrix}a_{3}\end{matrix}}$ - ${\begin{matrix}a_{2}\end{matrix}}$ = ${\begin{matrix}a_{4}\end{matrix}}$ - ${\begin{matrix}a_{3}\end{matrix}}$ = ${\begin{matrix}a_{5}\end{matrix}}$ - ${\begin{matrix}a_{4}\end{matrix}}$ = ... = ${\begin{matrix}d\end{matrix}}$

6 - 3 = 9 - 6 = 12 - 9 = 15 - 12 = ... = ${\begin{matrix}3\end{matrix}}$

· És una progressió aritmètica ja que compleix les igualtats, i ${\begin{matrix}d\end{matrix}}$ = 3.

b) 6, 12, 18, 24, 29 ...

${\begin{matrix}a_{2}\end{matrix}}$ - ${\begin{matrix}a_{1}\end{matrix}}$ = ${\begin{matrix}a_{3}\end{matrix}}$ - ${\begin{matrix}a_{2}\end{matrix}}$ = ${\begin{matrix}a_{4}\end{matrix}}$ - ${\begin{matrix}a_{3}\end{matrix}}$ = ${\begin{matrix}a_{5}\end{matrix}}$ - ${\begin{matrix}a_{4}\end{matrix}}$ = ... = ${\begin{matrix}d\end{matrix}}$

12 - 6 = 18 - 12 = 24 - 12 ~~ 29 - 24 = ... = X

· No és una progressió aritmètica.

Terme general

El terme general està explicant suposant que el terme inicial ocupa el lloc 1. La fórmula és

${\begin{matrix}a_{n}\end{matrix}}$ = ${\begin{matrix}a_{1}\end{matrix}}$ + (n - 1)· d n = 1, 2, 3...

Propietats

És evident que la diferència d'una progressió aritmètica és un número constant.

La distància entre dos termes és igual a la diferència multiplicada per la diferència entre les posicions dels dos termes.

Les progressions aritmètiques són creixents si la diferència és positiva; decreixents, si la diferència és negativa; i constants, si la diferència és nul·la.

Com a conseqüència de la propietat anterior, les progressions aritmètiques tenen sempre la mateixa monotonia, és a dir, no fluctuen ni tenen cicles, ja que només poden ser o bé creixents, o bé decreixents o bé constants.