Matemàtiques (nivell ESO)/Probabilitats en experiències amb instruments irregulars

Probabilitats en experiències amb instruments irregulars
de Matemàtiques (nivell ESO)

Llei dels grans nombres

Amb la regla de Laplace, podem calcular la probabilitat d'un esdeveniment en experiments regulars, però si l'experiència és irregular o si no sabem la probabilitat de cadascun dels resultats possibles, aleshores hem d'acudir a l'experimentació.

La freqüència absoluta d'un esdeveniment és el nombre de vegades que apareix quan es repeteix un experiment aleatori, i la freqüència relativa és la freqüència absoluta dividida pel nombre de vegades, n, que es repeteix l'experiment aleatori. Quan aquest nombre n és molt gran, la freqüència relativa amb què apareix un esdeveniment tendeix a estabilitzar-se cap a un valor fix. Aquest resultat, conegut com llei dels grans nombres, permet definir la probabilitat d'un esdeveniment com aquest nombre cap al qual s'aproxima la freqüència relativa en repetir l'experiment moltes vegades.

$p(A)=\lim _{n\to \infty }{\dfrac {freq(A)}{n}}$

Exemple 1

Quina és la probabilitat que surti un 3 quan llançam un dau de sis cares?

Llençam el dau 10 vegades, 100, 1000 i 10000 vegades. Comptam les vegades que surt un 3 i ho anotam a la taula.

Tirades	Freqüència del 3	Freqüència relativa
10	2	0.2
100	15	0.15
1000	170	0.17
10000	1685	0.1685

A l'exemple s'observa que a mesura que augmenta el nombre de llançaments, la freqüència relativa es va acostant més a la probabilitat teòrica ${\frac {1}{6}}=0.1666\ldots$

En aquest exemple, la probabilitat empírica de treure un 6 ha estat de 0.1685.

Exemple 2

Volem saber si un dau de sis cares està esbiaixat, perquè sospitam que té tendència a sortir el 3.

Com abans, llençam el dau 10 vegades, 100, 1000 i 10000 vegades. Comptam les vegades que surt un 3 i ho anotam a la taula.

Tirades	Freqüència del 3	Freqüència relativa
10	3	0.3
100	35	0.35
1000	329	0.329
10000	3337	0.3337

A mesura que augmenten el nombre de llançaments, la freqüència relativa s'allunya de la probabilitat teòrica ${\frac {1}{6}}=0.1666\ldots$ . De fet, aquesta freqüència sembla aproximar-se a ${\dfrac {1}{3}}=0.333\ldots$ . Per tant, es confirma que el dau està esbiaixat.