Matemàtiques (nivell ESO)/Probabilitat d'esdeveniments en experiments compostos

Probabilitat d'esdeveniments en experiments compostos de Matemàtiques (nivell ESO)

Tornar a Índex general

Probabilitat de successos compostos

Imaginem que ens demanem per la probabilitat d'un succés associat a un experiment aleatori, en el qual hi ha diferents possibilitats perquè pugui ocórrer. Per exemple: si disposem de dues urnes que contenen boles de color blanc i negre, quina és la probabilitat que al triar una urna a l´atzar i una bola, aquesta sigui de color blanc? En aquest cas, la probabilitat té dues opcions: elegir la primera o la segona urna.

En casos com aquest, en els quals la probabilitat d´un succés té diferents opcions, es parla de probabilitat de successos compostos, i no es pot aplicar directament la regla de Laplace.

Si anomenam A i B dos successos, de tal manera que el succés pel qual ens demanem la probabilitat està compost per aquests dos, la probabilitat que pugui ocórrer A o B és:

                       $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

essent P(A) la probabilitat associada al succés A, P(B) la del succés B, i P(A∩B) la probabilitat que puguin succeir simultàniament (en el cas que no sigui possible seria 0).

Probabilitat condicionada

Hi ha casos, en els quals necessitem conèixer la probabilitat d´un succés sabent que prèviament ha ocorregut un altre. És el que es coneix com a probabilitat condicionada. Si B representa el succés que ha passat i A el succés pel qual ens demanem la probabilitat, la fórmula que ens permet calcular la probabilitat que ocorri el succés A sabent que ha ocorregut el B, és:

                        $P(A/B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$

essent P(A∩B) la probabilitat que es verifiquin el successos A i B simultàniament, i P(B) la probabilitat associada al succés B.

Podem generalitzar el resultat anterior, si consideram que: A₁,A₂,A₃,..........A_n, són successos independents associats a un experiment aleatori, i que B és un altre succés qualsevol. Llavors, la probabilitat que es verifiqui el succés A_i sabent que prèviament s´ha verificat el B, és:

                    $P(A_{i}/B)={\frac {P(A_{i}).P(B/A_{i})}{\sum _{i=1}^{n}P(A_{i}).P(B/A_{i})}}$

aquest resultat es coneix amb el nom de Teorema de Bayes.