Matemàtiques (Prova d'accés a cicles formatius de grau superior)/Funcions

Funcions

---

Vectors al pla         Derivades

---

del llibre Matemàtiques (Prova d'accés a cicles formatius de grau superior)

Concepte de funció. Diferents formes d'expressar una funció.

Exemple de funció exhaustiva.

Exemple de funció injectiva.

Exemple de funció bijectiva.

Exemple de funció que no és ni injectiva ni exhaustiva

El concepte de funció es basa en fer correspondre elements d'un conjunt a elements d'un altre. Així si x és un element del primer conjunt i y és l'element del segon conjunt que li correspon a x per una determinada funció f es diu que y = f(x) és la imatge de x per la funció f.

Una funció es pot interpretar com un subconjunt del conjunt de totes les parelles d'elements obtingudes agafant un element d'un conjunt i un element de l'altre. Però no tots els subconjunts d'aquest conjunt compleixen els requisits per dir que són una funció.

La idea és que a cada element del primer conjunt li correspongui un i només un element del segon.

Per tant no serà considerada funció si hi ha elements del primer conjunt que no tinguin parella en el segon o si hi ha elements que tenen més d'una parella. En canvi sí que pot ser que hi hagi algun element en el segon conjunt que no sigui parella de cap del primer i també pot ser que hi hagi elements del segon que siguin parelles de més d'un element del primer.

Clar que pot haver-hi casos particulars de funcions en que tots els elements del segon conjunt siguin parella d'algun element del primer. Aquestes funcions s'anomenen exhaustives perquè exhaureixen tots els elements del segon conjunt i no en deixen cap sense relacionar. L'altre cas particular és quan no hi ha cap element del segon conjunt que sigui imatge de més d'un element del primer. Aquestes funcions s'anomenen injectives perquè injecten el primer conjunt en el segon sense que es dispersi, no hi ha més elements amb imatge en el segon que elements en el primer. Les funcions que són al mateix temps exhaustives i injectives tenen la propietat de que a cada element de cada conjunt li assignen un i només un element de l'altre. Aquestes funcions s'anomenen bijectives i tenen la propietat que són funcions tan si es miren d'un cantó com del altre, és a dir tan si es considera primer conjunt l'un com l'altre. Aquestes funcions s'anomenen bijectives.

Si el nombre d'elements del primer conjunt és finit, una manera de definir una funció és amb una llista on es digui quin és l'element del segon conjunt que li correspon a cada un dels elements del primer o el que és equivalent amb un diagrama dels dos conjunts en què es representin un per un tots els elements de cada conjunt i dibuixant una fletxa qua va de cada element del primer conjunt al element que la funció li fa correspondre del segon (vegeu figures). Però si el nombre d'elements del primer conjunt és infinit aquesta forma de definir la funció no és factible.

Pel cas de conjunts infinits la única forma és explicar un procediment per determinar quin element del segon conjunt li correspon a cada element del primer conjunt. Per exemple, una funció del conjunt dels nombres racionals en el conjunt dels nombres naturals podria ser:

1. Trobeu el nombre de divisors que té el numerador i el nombre de divisors que té el denominador.
2. Si el denominador es 1 feu-li correspondre el nombre de divisors del numerador més 1
3. Si el denominador és diferent de 1, feu-li correspondre el nombre natural obtingut com a resultat de multiplicar el nombre de divisors del numerador pel nombre de divisors de denominador.

Hi ha un cas particular que es dóna quan aquest procediment es pot explicar a base de partir el conjunt inicial en subconjunts i llavors per cada subconjunt donar una fórmula que aplicada a cada element del subconjunt permeti calcular l'element del segon conjunt que és el resultat de la funció. O en un cas encara més particular quan es pot explicar aplicant la mateixa fórmula a tots els elements del conjunt.

Per exemple la funció esglaó de Heaviside pren el valor 0 per a tot x real inferior a 0 i el valor 1 per a tot x igual o superior a 0, per a x = 0 de vegades se li assigna el valor 1/2, llavors, per als valors diferents de 0 es pot definir amb les següents fórmules:

$H(x)=\left\{{\begin{matrix}0&si&x<0\\1&si&x>0\end{matrix}}\right.$

O també es pot definir amb una única fórmula per a tot x pertanyent al conjunt dels nombres reals i diferent de zero:

Funció esglaó amb H(0) = 1/2.

$H\left(x\right)={\frac {+{\sqrt {x^{2}}}}{2x}}+{\frac {1}{2}}$

En el cas de funcions que fan correspondre un nombre real a cada nombre real, les parelles que la funció relaciona es poden interpretar com les coordenades cartesianes de punts d'un pla i en representar aquests punts en un gràfic s'obté el que s'anomena la gràfica d'una funció. Per exemple a la dreta es representa la gràfica de la funció esglaó.

De fet tenir la gràfica d'una funció real de variable real és un altre forma de definir una funció i en recerca en diferents camps de la ciència sovint es tenen funcions definides per les seves gràfiques. Aquestes gràfiques s'han obtingut trobant punts que són resultats d'experiments. Per exemple en aeronàutica hi ha gràfiques que permeten trobar la sustentació dels diferents perfils d'ala a diferents velocitats relatives entre l'ala i el vent.Aquestes gràfiques s'han obtingut experimentalment. En termodinàmica hi ha les gràfiques que a cada pressió i temperatura d'una substància li fan correspondre la seva densitat. Són gràfiques tridimensionals, a cada punt (definit per les dues coordenades pressió i temperatura) d'un pla li correspon una alçada (definida per la densitat de la substancia quan se sotmet a aquella pressió i temperatura). També s'obtenen experimentalment.

Un altre forma de definir una funció és donar una fórmula que per cada punt del conjunt origen permet trobar una equació que ha de complir la seva imatge. Llavors a cada punt origen es pot calcular la imatge resolent l'equació. De les funcions definides d'aquesta manera se'n diu funcions implícites.

Les funcions que es defineixen donant una fórmula que permet calcular la imatge de cada punt aplicant la fórmula a cada punt del conjunt origen de vegades es diuen funcions explícites per contraposició amb el concepte de funcions implícites.

Per exemple, la funció esglaó de Heaviside es pot definir de forma implícita així:

${\frac {+{\sqrt {x^{2}}}}{2x}}+{\frac {1}{2}}-H\left(x\right)=0$

On per cada valor de x resulta una equació on la incògnita és H (x). Resolent l'equació es troba la imatge de la funció al punt x. Una forma habitual de presentar les funcions implícites és anomenant y a f ( x ), és a dir a la imatge de x per la funció. Per exemple en el cas de la funció esglaó de Heaviside, emprant aquesta convenció es definiria de forma implícita així:

${\frac {+{\sqrt {x^{2}}}}{2x}}+{\frac {1}{2}}-y=0$

Classificació de les funcions

Les funcions es poden classificar seguint diversos criteris. El primer criteri es basa en els conjunts que relacionen, així es diu:

• Funció real la que assigna com a resultat elements del conjunt dels nombres reals.
• Funció complexa la que assigna com a resultat elements del conjunt dels nombres complexos.
• Funció de variable real la que assigna valors als elements del conjunt dels nombres reals.
• Funció de variable complexa la que assigna valors als elements del conjunt dels nombres complexos.
• Successió la que assigna valors als elements del conjunt dels nombres naturals.
• Funció vectorial la que assigna com a resultat elements d'un conjunt de vectors (espai vectorial).
• Camp la que assigna valors als elements del conjunt Rⁿ. És a dir al conjunt de les llistes ordenades de n nombres reals.

En el cas de les funcions reals de variable real que estiguin definides amb fórmules es poden classificar segons la fórmula:

• Funció polinòmica si la fórmula emprada per definir la funció és un polinomi.
• Funció trigonomètrica la que empra una raó trigonomètrica en la fórmula.
• Funció logarítmica la que empra el càlcul d'un logaritme.
• Funció exponencial la que empra el càlcul d'un exponent.

Operacions amb funcions

Una operació amb nombres a cada parella de nombres operands li assigna un nou nombre anomenat resultat. Les operacions amb funcions a cada parella de funcions li assigna una nova funció resultat de la operació. Com que per definir una funció cal definir com es troba l'element imatge de cada element del conjunt inicial, per definir una operació amb funcions cal explicar com es troba aquest element imatge en el cas de la funció resultat de la operació. Una forma natural de definir operacions amb funcions reals és emprar les operacions amb nombres aplicades als nombres imatge de les funcions operand per trobar la imatge de la funció resultat. Així és com es defineixen la multiplicació d'un nombre real per una funció, la suma i la resta de dues funcions i el producte i la divisió de dues funcions.

Multiplicació d'una funció per un escalar, la funció g(x) resultat de multiplicar un escalar (o un nombre real) k per un altre funció f(x) és la funció que a cada element x li assigna l'element resultat de multiplicar per k la imatge de x per f. És a dir g = k·f si i només si g(x) = k·f(x) per a tot x.

Suma de dues funcions, la funció h(x) resultat de sumar dues funcions f(x) i g(x) és la funció que a cada element x li assigna l'element resultat de sumar la imatge de x per f amb la imatge de x per g. És a dir h = f + g si i només si h(x) = f(x) + f(x) per a tot x.

Resta de dues funcions, la funció h(x) resultat de restar de la funció f(x) la funció g(x) és la funció que a cada element x li assigna l'element resultat de restar de la imatge de x per f la imatge de x per g. És a dir h = f - g si i només si h(x) = f(x) - f(x) per a tot x.

Producte de dues funcions, la funció h(x) resultat de multiplicar la funció f(x) per la funció g(x) és la funció que a cada element x li assigna l'element resultat de multiplicar la imatge de x per f per la imatge de x per g. És a dir h = f · g si i només si h(x) = f(x) · f(x) per a tot x.

La divisió de funcions és una mica més complicada. En dividir nombres reals no es pot dividir entre zero. Això fa que en funcions tampoc es pugui dividir entre la funció constant 0 (Una funció que a tot element del conjunt inicial li fa correspondre el nombre zero). Però fins i tot en funcions que no són la funció constant zero cal tenir em compte que en els punts on la funció denominador val zero la divisió no es pot fer i per tant la funció divisió de dues funcions no estarà definida en aquests punts. Llavors en principi no seria una funció (s'ha dit que una funció sempre ha de assignar una imatge a cada element del conjunt origen). Per resoldre aquest problema el que es fa és restringir el conjunt d'origen, de forma que la funció divisió d'altres dues és una funció definida en un conjunt resultat de treure del conjunt en que estan definides les altres el punts on la funció denominador val zero. Així, tenint tot això en compte es pot definir:

Divisió de dues funcions, la funció h(x) resultat de dividir la funció f(x) entre la funció g(x) és la funció definida en el conjunt de tots els x tals que la seva imatge per g és diferent de zero que a cada element x li assigna l'element resultat de dividir la imatge de x per f entre la imatge de x per g. És a dir h = f / g en tot x tal que g(x)<>0 si i només si h(x) = f(x) / f(x) per a tot x tal que g(x)<>0.

Si les funcions s'han definit emprant fórmules en una determinada llista d'intervals llavors per trobar la fórmula que defineix la funció resultat d'una operació només cal aplicar la operació a les fórmules (eventualment es pot simplificar donat que la fórmula simplificada assigni a cada element el mateix resultat). Si els intervals no són els mateixos primer cal partir-los en intervals més petits per tal que siguin els mateixos. En el cas de divisió de funcions també cal trobar el punts on la funció denominador val zero i eliminar-los de del conjunt en que està definida la funció.

Exemples Donades les funcions f i g definides en tot el conjunt dels nombres reals amb les següents fórmules:

${\begin{aligned}&f\left(x\right)=3x^{2}+2x+3\\&g\left(x\right)=x^{2}-2x\\\end{aligned}}$

Trobar les fórmules de les funcions h₁= 3·f, h₂= f + g, h₃= f + g, h₄= f · g, h₅= f / g.

${\begin{aligned}h_{1}\left(x\right)&=3\cdot f\left(x\right)\\&=3\cdot \left(3x^{2}+2x+3\right)\\&=9x^{2}+6x+9\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}h_{2}\left(x\right)&=f\left(x\right)+g\left(x\right)\\&=\left(3x^{2}+2x+3\right)+\left(x^{2}-2x\right)\\&=4x^{2}+3\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}h_{3}\left(x\right)&=f\left(x\right)-g\left(x\right)\\&=\left(3x^{2}+2x+3\right)-\left(x^{2}-2x\right)\\&=3x^{2}+2x+3-x^{2}+2x\\&=2x^{2}+4x+3\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}h_{4}\left(x\right)&=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\\&=\left(3x^{2}+2x+3\right)\cdot \left(x^{2}-2x\right)\\&=3x^{2}\cdot \left(x^{2}-2x\right)+2x\cdot \left(x^{2}-2x\right)+3\cdot \left(x^{2}-2x\right)\\&=\left(3x^{2}\cdot x^{2}-3x^{2}\cdot 2x\right)+\left(2x\cdot x^{2}+2x\cdot \left[-2x\right]\right)+\left(3x^{2}+3\cdot \left[-2x\right]\right)\\&=3x^{4}-6x^{3}+2x^{3}-4x^{2}+3x^{2}-6x\\&=3x^{4}-4x^{3}-x^{2}-6x\\\end{aligned}}$

Per la divisió, primer es troben els punts on el denominador té imatge zero (és el problema de resoldre un equació que j s'ha estudiat abans):

${\begin{aligned}g\left(x\right)=0&\Rightarrow x^{2}-2x=0\\&\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}x=0\\x=2\\\end{matrix}}\right.\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}h_{4}\left(x\right)&={\frac {f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}\\&={\frac {3x^{2}+2x+3}{x^{2}-2x}}\quad x\in \mathbb {R} -\left\{0,2\right\}\\\end{aligned}}$

On $x\in$ vol dir que x pertany al conjunt que s'escriu tot seguit i $\mathbb {R} -\left\{0,2\right\}$ vol dir el conjunt de tots els nombres reals tret del conjunt format pels nombre 0 i 2.

g∘f, la composició de f i g

La Composició de funcions és una operació amb funcions que no és el resultat de emprar operacions entre els elements imatge de la funció per definir-ne una de nova. La funció resultat d'aquesta operació anomenada funció composició, s'obté per l'aplicació de la primera funció al resultat d'aplicar la última a l'argument de la composició. Les funcions f: X → Y i g: Y → Z es poden compondre a base d'aplicar primer f a un argument x i llavors aplicant g al resultat.

Així s'obté una funció g∘f: X → Z definida per (g∘f)(x) = g(f(x)) per a tot x de X. La notació g∘f segons alguns autors es llegeix com "f composta amb g" segons altres autors com "composició de g amb f"

Si les funcions estan definides emprant fórmules es pot trobar la fórmula que defineix directament la funció composició escrivint-ne una que substitueixi la variable de la fórmula de la primera funció per la fórmula que defineix la segona. Per exemple, donades les funcions:

${\begin{aligned}&f\left(x\right)={\frac {10x+2}{3x^{2}}}\\&g\left(x\right)=x-1\\\end{aligned}}$

La funció h(x) resultat de la composició estarà definida per la fórmula:

${\begin{aligned}\left(f\circ g\right)\left(x\right)&=f\left(g\left(x\right)\right)\\&=f\left(x-1\right)\\&={\frac {10\left(x-1\right)+2}{3\left(x-1\right)^{2}}}\\&={\frac {10x-10+2}{3\left(x^{2}-2x+1\right)}}\\&={\frac {10x-8}{3x^{2}-6x+3}}\\\end{aligned}}$

Fixeu-vos que operant d'aquesta manera s'obté una fórmula que aplicada a un nombre x dóna el mateix resultat que si s'alica primer la fórmula de g(x) i llavors al resultat se li aplica la fórmula de f(x). Per exemple pel cas de x=2, aplicant primer una fórmula i després l'altre resulta:

${\begin{aligned}g\left(2\right)&=2-1\\&=1\\f\left(1\right)&={\frac {10\cdot 1+2}{3\cdot 1^{2}}}\\&={\frac {12}{3}}\\&=4\\\end{aligned}}$

Aplicant directament la fórmula obtinguda per a la funció composició resulta:

${\begin{aligned}\left(f\circ g\right)\left(2\right)&={\frac {10\cdot 2-8}{3\cdot 2^{2}-6\cdot 2+3}}\\&={\frac {20-8}{3\cdot 4-12+3}}\\&={\frac {12}{12-12+3}}\\&={\frac {12}{3}}\\&=4\\\end{aligned}}$

La composició de funcions permet definir la funció recíproca o funció inversa d'una funció donada. Es tracta d'una funció que desfaci l'efecte de la funció inicial.

Una funció ƒ i la seva inversa ƒ^–1. Com que ƒ fa correspondre a 3 l'element "a", la inversa ƒ^–1 fa correspondre l'element a a 3.

Si ƒ és una funció de A a B llavors la funció recíproca de ƒ, anomenada com a ƒ⁻¹, és una funció en la direcció contrària, de B a A, amb la propietat de què la seva composició amb la funció original retorna cada element a si mateix. No totes les funcions tenen inversa; de les que en tenen se'n diu invertibles.

Per exemple, sia ƒ la funció que transforma la temperatura en graus Celsius a graus Fahrenheit:

$f(C)={\tfrac {9}{5}}C+32;\,\!$

Llavors la seva inversa transforma els graus Fahrenheit a graus Celsius:

$f^{-1}(F)={\tfrac {5}{9}}(F-32).\,\!$

O, suposant que ƒ és la funció que assigna a cada nen d'una família de tres, l'any del seu naixement. La funció inversa hauria de dir quin dels nens ha nascut un any donat. Ara bé, si la família te bessons (o trigèmins) llavors no se'n pot distingir un de sol a partir d'un any si resulta que en aquell any en nasqueren més d'un. Tanmateix, si es dóna un any en què no va néixer cap nen tampoc es pot assignat cap nen a aquell any. Ara bé si cada nen va néixer en un any diferent i es restringeix el conjunt dels anys a només els anys en què algun nen va néixer, llavors es té una funció invertible. Per exemple,

${\begin{aligned}f({\text{Albert}})&=1990,\quad &f({\text{Enric}})&=1996,\quad &f({\text{Marina}})&=1997\\f^{-1}(1990)&={\text{Albert}},\quad &f^{-1}(1996)&={\text{Enric}},\quad &f^{-1}(1997)&={\text{Marina}}\end{aligned}}$

En cas de funcions definides emprant fórmules trobar la fórmula que defineix la funció recíproca d'una funció donada consisteix en resoldre el problema de trobar quin punt x és origen de cada imatge de la funció. Si a la imatge de la funció se la anomena y això és el mateix que plantejar que el resultat de la fórmula és igual a un valor conegut y i tenir que trobar el valor desconegut x que ha fet que la fórmula donés per resultat y. Aquest problema és el mateix que el de resoldre una equació.

Per exemple, donada la funció f definida com:

$f\left(x\right)=3x+2$

Per trobar la fórmula que permet definir la seva inversa es planteja que el resultat d'aplicar la fórmula és igual a un valor y:

$y=3x+2$

Llavors per saber quin valor ha de prendre x perquè i tingui un valor donat es resol aquesta equació considerant que y és coneguda i x la desconeguda:

${\begin{aligned}y-2&=3x\\&x={\frac {1}{3}}y-{\frac {2}{3}}\\\end{aligned}}$

Per tant la funció f ^-1 reciproca de f és:

$f^{-1}\left(x\right)={\frac {1}{3}}x-{\frac {2}{3}}$

Com es pot comprovar calculant la fórmula de la funció composició de les dues:

${\begin{aligned}\left(f\circ f^{-1}\right)\left(x\right)&=f\left(f^{-1}\left(x\right)\right)\\&=f\left({\frac {1}{3}}x-{\frac {2}{3}}\right)\\&=3\left({\frac {1}{3}}x-{\frac {2}{3}}\right)+2\\&=\left({\frac {3}{3}}x-{\frac {3\cdot 2}{3}}\right)+2\\&=x-2+2\\&=x\\\end{aligned}}$

El resultat és que a cada valor x li assigna el mateix valor x. Aquesta funció s'anomena funció identitat.

Imatge. Antiimatge. Domini. Recorregut.

Imatge d'una funció(f) des de X(esquerra) cap a Y(dreta). L'àrea més petita de dins de Y és el recorregut de f. Y és el codomini de f.

El domini d'una funció f(x) és el conjunt format pels valors que és poden donar a x per obtenir una imatge.

Sigui f una funció

$f\colon X\to Y\,$

El conjunt X és el domini de definició de f. Es diu domini de definició d'una funció al conjunt dels valors per als quals la funció està definida. El conjunt Y és el codomini de f.

En el cas que una funció real de variable real es defineixi emprant un fórmula es pot plantejar el problema de determinar quin és el seu domini. Es tracta d'esbrinar per quin subconjunt de R es pot avaluar la fórmula.

Es procedeix examinant la fórmula per trobar expressions que no estan definides a tot arreu, per exemple un quocient no està definit on el denominador valgui zero, una arrel quadrada no està definida on el radicand sigui negatiu, les inverses de les raons trigonomètriques sinus i cosinus no estan definides per arguments més grans que 1 o més petits que -1...

Llavors es determinen els valors de x que fan que l'argument de la funció en qüestió adopti valors pels quals la funció no està definida. Pel cas d'intervals, si les funcions són contínues n'hi ha prou amb trobar els punts extrems, això es pot fer plantejant equacions definides fent que la fórmula de l'argument sigui igual al valor extrem de l'interval, per exemple que la fórmula de dins d'una arrel quadrada sigui igual a zero.

Per acabar es genera el domini de la funció que és el conjunt que s'obté traient de R els intervals on la fórmula no està definida.

En el cas de funcions obtingudes per operacions de funcions, el domini de definició de la funció resultat serà aquell on es puguin avaluar les dues funcions per tal de poder avaluar després la funció, tret de la divisió que amés cal que la funció denominador tingui un valor diferent de zero, per tant:

Donades dues funcions f i g, de valors reals, amb dominis A i B respectivament llavors:

1. (f+g)(x) = f(x) + g(x) Domini = A ∩ B
2. (f-g)(x) = f(x) - g(x) Domini = A ∩ B
3. (f·g)(x) = f(x) · g(x) Domini = A ∩ B
4. (f/g)(x) = f(x) / g(x) Domini = {x ∈ A ∩ B ∧ g(x) ≠ 0}

Siguin X i Y dos conjunts, f una funció f: X → Y, i x un element de X. Es diu que la imatge de x sota f, denotada f(x), és l'element únic y de Y que f associa amb x.

La imatge d'un subconjunt A ⊆ X sota f denotada f(A) és el subconjunt de Y definit com:f(A) = {y ∈ Y tals que y = f(x) per a algun x ∈ A}.

Per extensió, la imatge de la funció f anomenat també el seu recorregut és la imatge del conjunt domini de la funció f.

El codomini de una funció $f$ : $X$ → $Y$ és el conjunt $Y$.

D'aquestes definicions se'n desprèn que el recorregut de $f$ és sempre un subconjunt del codomini de $f$.

El problema de trobar el recorregut d'una funció real de variable real definida per mitjà d'una fórmula, requereix que amés d'avaluar la funció en els extrems dels intervals on està definida, es determinin els valors màxims i mínims de la funció en cada interval. Aquest problema es resoldrà al capítol de derivades de funcions.

Funcions lineals: proporcional/afí/constant.

Una funció lineal és aquella que respecta la operació suma. Així una funció f que als elements d'un conjunt U els assigna elements d'un altre conjunt V es diu que és lineal si tant al conjunt U com al conjunt V hi ha definida l'operació de suma i donats dos elements qualsevol x i y de U resulta que f(x+y) = f(x) + f(y).

En el cas que les conjunts U i V siguin el conjunt R, és a dir, en el cas de funcions reals de variable real, les úniques funcions lineals són les que compleixen la fórmula:

$f\left(x\right)=mx$

Com es pot comprovar fàcilment,

$f\left(x_{1}+x_{2}\right)=m\left(x_{1}+x_{2}\right)=mx_{1}+mx_{2}=f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{1}\right)$

Aquestes funcions també s'anomenen funcions proporcionals. En el capítol anterior s'ha vist que aquesta és l'equació d'una recta i en particular d'una recta que passa per l'origen. El nom de lineals ve precisament d'aquí, perquè en anglès sovint es fa servir la paraula línia per referir-se a la línia recta. (potser seria més apropiar parlar de funcions rectilinials).

Les funcions afins són les que es defineixen per una fórmula que és un polinomi de primer grau. És a dir, les funcions afins són les funcions de la forma:

$f\left(x\right)=mx+b$

La seva gràfica és també una línia recta però no passa per l'origen. Alguns autors les anomenen també funcions lineals, però no compleixen el criteri general de funció lineal perquè la imatge d'una suma no és igual a la suma d'imatges.

En el cas que m valgui zero, la corresponent funció afí s'anomena funció constant, és a dir una funció constant és aaquella que dóna el mateix resultat per a qualsevol valor de l'argument.

Funció quadràtica. Paràbola.

Gràfica de la funció quadràtica pel cas particular de f(x) = x² - x - 2.

Una funció quadràtica és aquella que es defineix amb una fórmula polinòmica on la desconeguda està elevada al quadrat. En general la fórmula d'una funció quadràtica és:

$f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$

Amb a diferent de zero.

Per estudiar aquesta funció, una primera observació és que quan x adopta valors molt grans en mòdul, tan si són positius com si són negatius, el terme ax² és més gran que tots els altres, per tant el valor de la funció es fa molt gran i del mateix signe que a. És a dir, la gràfica de la funció té dues branques (en fer-se x molt gran negatiu o molt gran positiu) que tendeixen a més infinit o menys infinit depenent del signe de a. Per exemple a la figura les dues branques tendeixen cap a més infinit.

Un altre observació s'obté a partir del fet que si a una funció se li suma una constant s'obté un altre funció tal que la seva gràfica és igual que la gràfica de la primera però desplaçada cap amunt o cap a baix. En el cas de la funció quadràtica sempre es pot desplaçar amunt o avall la seva gràfica (sempre es pot trobar una constant que sumat-li) de forma que tot just toqui la línia x = 0. Per veure-ho només cal plantejar que l'equació de segon grau que s'obté d'igualar a zero la fórmula de la funció original més una constant només tingui una solució (és a dir només toqui la línia x = 0 en un punt):

${\begin{aligned}&f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c\\&f\left(x\right)+C=ax^{2}+bx+c+C\\&ax^{2}+bx+c+C=0\\\end{aligned}}$

Les solucions d'aquesta equació serien:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4a\left(c+C\right)}}}{2a}}$

I perquè només en tingui una s'ha de complir que:

$b^{2}-4a\left(c+C\right)=0$

I sempre es pot trobar un valor de C que ho compleixi:

${\begin{aligned}&b^{2}-4a\left(c+C\right)=0\\&b^{2}=4a\left(c+C\right)\\&c+C={\frac {b^{2}}{4a}}\\&C={\frac {b^{2}}{4a}}-c\\\end{aligned}}$

Aquest punt (el punt tal que desplaçant la gràfica de la funció fa contacte amb l'eix x = 0 ) s'anomena vèrtex de la quàdrica. I correspon al valor de la variable x = -b / 2a tal com es desprèn de l'equació que s'ha plantejat abans quant el valor del radicand és zero.

Un altre característica d'aquesta funció és que és simètrica respecte de la recta vertical que passa pel vèrtex, és a dir:

$f\left({\frac {-b}{2a}}-t\right)=f\left({\frac {-b}{2a}}+t\right)$

Tal com es pot comprovar substituint. Pel primer cas:

${\begin{aligned}&f\left({\frac {-b}{2a}}-t\right)=a\left({\frac {-b}{2a}}-t\right)^{2}+b\left({\frac {-b}{2a}}-t\right)+c\\&=a\left(\left({\frac {-b}{2a}}\right)^{2}-2\left({\frac {-b}{2a}}\right)t+t^{2}\right)+{\frac {-b^{2}}{2a}}-bt+c\\&=a\left({\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {b}{a}}t+t^{2}\right)+{\frac {-b^{2}}{2a}}-bt+c\\&={\frac {b^{2}}{4a}}+bt+at^{2}+{\frac {-b^{2}}{2a}}-bt+c\\&=at^{2}+{\frac {-b^{2}}{4a}}+c\\\end{aligned}}$

Pel segon cas:

${\begin{aligned}&f\left({\frac {-b}{2a}}+t\right)=a\left({\frac {-b}{2a}}+t\right)^{2}+b\left({\frac {-b}{2a}}+t\right)+c\\&=a\left(\left({\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+2\left({\frac {-b}{2a}}\right)t+t^{2}\right)+{\frac {-b^{2}}{2a}}+bt+c\\&=a\left({\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b}{a}}t+t^{2}\right)+{\frac {-b^{2}}{2a}}+bt+c\\&={\frac {b^{2}}{4a}}-bt+at^{2}+{\frac {-b^{2}}{2a}}+bt+c\\&=at^{2}+{\frac {-b^{2}}{4a}}+c\\\end{aligned}}$

I en els dos casos efectivament el resultat és el mateix.

Paràbola

Una paràbola és la corba que s'obté en tallar un con per un pla inclinat el mateix angle que el con.

En matemàtiques de vegades hi ha troballes que resulten d'estudiar diferents estructures per separat i llavors resulta que estan relacionades. El cas de les quàdriques i les paràboles n'és un. Resulta que la gràfica de les quàdriques són les paràboles. Per veure-ho cal seguir un camí una mica llarg, té els següents passos:

1. Primer s'ha de trobar el teorema de l'angle inscrit o de l'arc capaç.
2. Llavors emprant el teorema de l'arc capaç es troba el teorema de la potència d'un punt respecte d'una circumferència pel cas de punts interiors a la circumferència.
3. Seguidament emprant el teorema de Tales i el teorema de la potència d'un punt es troba que la funció que té per gràfica una paràbola amb vèrtex a l'origen es pot definir amb la fórmula f (x) = ax².
4. Finalment s'observa que desplaçant l'origen a un punt qualsevol la funció que té per gràfica una paràbola amb vèrtex a un punt qualsevol és l'equació general de la quàdrica.

Tot seguit es segueixen aquests passos per tal d'arribar al resultat que s'ha anunciat: La gràfica d'una quàdrica és una paràbola.

Teorema de l'angle inscrit (o arc capaç)

L'arc capaç d'un segment AB i un angle λ és el lloc geomètric de tots els punts d'un semiplà des dels quals es veu aquest segment sota un mateix angle λ. És sempre un arc de circumferència limitat pel segment AB. L'angle λ és la meitat de l'angle format prenent com a vèrtex el centre de la circumferència i traçant rectes que passin pel vèrtex i els extrems del segment AB.

De fet el teorema de l'angle inscrit s'enuncia fent referència a aquesta propietat:

L'angle λ inscrit en una circumferència és la meitat de l'angle central 2λ que sosté el mateix arc de la circumferència.

Per veure-ho cal distingir dos casos. Per una banda els punts de l'arc que es troben a la zona del arc que queda limitada per la prolongació de les linines que passen pels extrems del segment i el centre. per altra banda els altres punts de l'arc.

Cas dels punts de l'arc que es troben entre les prolongacions dels radis que passen per A i B

Cas dels punts de l'arc que es troben entre les prolongacions dels radis que passen per A i B.

Si C és el centre de l'arc de circumferència que passa per A i B, llavors els triangles PCB i PCA són isòsceles doncs els costats PC, CA i CB són tots tres iguals al radi de la circumferència.

Per tant l'angle PCB és igual a 180 – 2*CPB i l'angle PCA és igual a 180 – 2*CPA.

Però com que PCB + PCA + ACB ha de ser 360. Resulta que:

360= (180-2*CPB)+(180-2*CPA)+ACB

CPB + CPA = 1/2*ACB

Però CPB + CPA és l'angle amb què el punt P veu el segment AB, i ACB és l'angle amb que el veu el centre de la circumferència, per tant com que aquest raonament es pot fer per a qualsevol punt del arc que quedi entremig de les línies de punts tots aquests punts veuen el segment amb un angle meitat del angle amb que el veu el centre.

Cas dels punts de l'arc que es troben fora de les prolongacions dels radis que passen per A i B

Cas dels punts de l'arc que es troben fora de les prolongacions dels radis que passen per A i B.

En aquest cas l'angle en què el punt P veu el segment AB (angle APB) es pot expressar com: APB = APC – BPC

Els triangles PCA i PCB són isòsceles perquè els costats PC, AC i CB són iguals al radi del arc traçat amb centre a C.

Per tant l'angle APC = ½(180-PCA) i BPC = ½(180-(PCA+ACB)

Substituint resulta que:

APB = ½(180-PCA) – ½(180-(PCA+ACB)) = 1/2ACB

Altre cop l'angle amb que el punt P veu el segment AB és la meitat de l'angle amb que el veu el punt C.

Per tant tots els punts del arc que va de A a B amb centre a C veuen al segment AB amb el mateix angle i aquest angle és igual a la meitat del angle amb que el veu el mateix punt C.

Teorema de la potència d'un punt respecte d'una circumferència. Cas de punts interiors

righ

El teorema de la potència d'un punt respecte d'una circumferència diu que si es traça una recta que passi per un punt i que talli una circumferència, el resultat de multiplicar les longituds dels dos segments que van des del punt fins a cada un dels punts d'intersecció de la recta amb la circumferència és constant independent de la recta escollida.

Es poden distingir dos casos: Punts interiors a la circumferència i punts exteriors. Pel que fa a la demostració que es cerca en aquest apartat n'hi ha prou amb la part que fa al cas dels punts interiors i és la que s'explica.

A partir d’un punt qualsevol O interior a la circumferència, es tracen dues rectes qualsevol AC i BD. Com que els angles ABD i ACD abracen el mateix segment AD i tenen el vèrtex a la mateixa circumferència, són iguals, el mateix passa amb els angles BAC i BDC. Per tant els triangles ABO i CDO són semblants donat que tenen dos angles iguals (si en tenen dos d’iguals el tercer per força és també igual donat que els tres sumen sempre 180°). Pel fet de ser semblants els triangles ABO i CDO es compleix que:

${\frac {OB}{OC}}={\frac {OA}{OD}}$

Per tant:

$OB\cdot OD=OC\cdot OA$

I això és cert per qualsevol parell de rectes que passin pel punt O.

Fórmula de la funció que té per gràfica una paràbola amb vèrtex a l'origen

Una paràbola

Observeu la figura de la dreta. El punt P és el vèrtex de la paràbola. El pla de la paràbola és el pla en que es trobarà la fórmula que defineix la funció que té per gràfica la paràbola. El segment PM esta sobre l'eix 'y i l'eix perpendicular a aquest que passa per P és l' x. Amb aquestes convencions el vèrtex de la paràbola és al punt (0,0). Un punt qualsevol de la paràbola Q té per coordenades (QV, PV). És a dir la seva coordenada x és la distància del punt Q al punt V i la seva coordenada y és la distància del punt V al punt P.

Pel teorema de la potència del punt:

$QV^{2}=HV\cdot VK$

Com que PM és paral·la a AC, els triangles HVP, HKA i BCA sòn semblant, per tant:

${\frac {HV}{PV}}={\frac {HK}{KA}}={\frac {BC}{AC}}$

${\frac {VK}{PA}}={\frac {HK}{HA}}={\frac {BC}{BA}}$

Operant resulta:

$QV^{2}=HV\cdot VK=\left({\frac {BC\cdot PV}{AC}}\right)\left({\frac {BC\cdot PA}{BA}}\right)=\left({\frac {BC^{2}\cdot PA}{BA\cdot AC}}\right)PV$

El valor de $\left({\frac {BC^{2}\cdot PA}{BA\cdot AC}}\right)$ és una constant perquè no depèn de la posició de V, fent $a={\frac {BA\cdot AC}{BC^{2}\cdot PA}},$ amb les convencions que x = VQ i y = PV resulta que y=ax².

Fórmula de la funció que té per gràfica una paràbola amb vèrtex a qualsevol punt

Per acabar només cal observar que per trobar una funció tal que tingui la mateixa gràfica que un altre però desplaçada cap a la dreta una distància x_v s'ha de compondre la funció inicial amb la funció f(x) = x – x _v i per trobar una funció tal que tingui la mateixa gràfica que un altre però desplaçada cap amunt una distància y_v només cal sumar a la funció inicial la contant y_v. Per tant si la funció que té per gràfica una paràbola amb vèrtex en l'origen es f (x) = ax² llavors la funció que tingui per gràfica una paràbola amb vèrtex al punt (x_v , y_v) serà:

${\begin{aligned}f\left(x\right)&=\left[a{{x}^{2}}\circ \left(x-{{x}_{v}}\right)\right]+{{y}_{v}}\\&=a{{\left(x-{{x}_{v}}\right)}^{2}}+{{y}_{v}}\\&=a{{x}^{2}}-2a{{x}_{v}}\cdot x+ax_{v}^{2}+{{y}_{v}}\\\end{aligned}}$

Que es pot escriure de la forma:

$f\left(x\right)=a{{x}^{2}}+bx+c$

Si es fa:

${\begin{aligned}&b=-2a{{x}_{v}}\\&c=ax_{v}^{2}+{{y}_{v}}\\\end{aligned}}$

Per tant la funció quadràtica és la funció que té per gràfica la paràbola amb vèrtex en un punt qualsevol del pla.

Funcions algebraiques, polinòmiques, racionals i irracionals.

Al capítol de polinomis s'ha definit el concepte de polinomi d'una variable. Aquest concepte es pot estendre a diverses variables i obtenir el concepte de polinomi de diverses variables. Si es defineix el polinomi com a suma de monomis, només cal definir el monomi com el producte d'un coeficient per les diverses variables elevades cada una a un determinat exponent enter. Per exemple un polinomi de dues variables seria:

$P\left(x,y\right)=3+2x+4y-4xy+5x^{2}+7y^{2}-x^{2}y$

Aquest diagrama no representa una "autèntica" funció, perquè l'element 3 de X s'associa a dos elements, b i c, de Y.

Un polinomi de dues variables es pot emprar per definir una equació igualant-lo a 0 i aquesta equació es podria emprar per definir una funció implícita si només tingués una solució. En el capítol de nombres complexos s'ha vist que els polinomis de grau n tenen n solucions en el conjunt dels nombres complexos.

Per poder definir i acceptar les funcions algebraiques com a funcions s'estén la definició de funció al concepte de funció multivaluada. Una funció multivaluada és una relació total; és a dir, a cada a cada valor de la variable independent se li associa un o més valors de la variable independent. Estrictament parlant, una funció "ben definida" associa un i només un valor de la variable dependent a cada valor de la variable independent. L'expressió "funció multivaluada" és, per tant, confosa: les autèntiques funcions són univaluades. Ara bé, una funció multivaluada de A a B es pot representar com una funció univaluada de A al conjunt dels subconjunts no buits de B.

A partir d'aquí es defineix funció algebraica. Una funció algebraica és una funció definida implícitament amb una equació del tipus:

$P\left(x,y\right)=0$

Fixeu-vos que per a cada valor de x queda un polinomi de y (que es fa servir per representar la imatge de x per la funció, és a dir y = f (x) ) per tant trobant els zeros del polinomi es troben les imatges de x.

Casos particulars de funcions algebraiques són:

Funcions polinòmiques, són funcions definides per una fórmula que és un polinomi o també definides amb l'equació implícita del tipus:

$P\left(x\right)-y=0$

On P (x) és un polinomi de la variable x. Fixeu-vos que les funcions polinòmiques són funcions pròpiament dites perquè a cada valor de x li assignen només un valor de y.

Funcions racionals, són funcions definides amb una fórmula que és una fracció racional o també definides amb l'equació implícita del tipus:

$P\left(x\right)-Q\left(x\right)y=0$

On P (x) i Q (x) són polinomis de la variable x. fixeuvos que en resoldre l'equació resultarà:

$y={\frac {P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}$

Fixeu-vos que les funcions racionals només estan definides als punts on el polinomi Q (x) no val zero i que allà on estan definides són funcions pròpiament dites perquè a cada valor de x li assignen només un valor de y.

Funcions iracionals són les funcions algèbriques que no són pas racionals. Per exemple la funció:

$P\left(x\right)-y^{n}=0$

Que es pot expressar de forma explícita com a:

$f\left(x\right)={\sqrt[{n}]{P\left(x\right)}}$

Fixeu-vos que totes les funcions que es poden expressar amb radicals són funcions irracionals. Comte que això no vol pas dir que totes les funcions irracionals es puguin expressar amb radicals. Per resoldre la qüestió de si totes les funcions irracionals es poden expressar amb radicals o no cal estudiar el teorema d'Abel Ruffini que està fora de l'abast d'aquest llibre. Les funcions irracionals poden ser o no autèntiques funcions però en cas de ser funcions multivaluades donen sempre un nombre finit de imatges per a cada origen.

Funció exponencial.

S'anomena funció exponencial de base a ( a 0 i a 1) la funció que a cada nombre real x li associa el nombre real a^x. S'escriu f(x) = a^x.

Cal recordar el significat d'elevar a un exponent que sigui un nombre real. Al capítol sobre els conjunts numèrics, a la secció sobre els logaritmes s'ha explicat:

• Si l'exponent és un nombre enter es tracta de multiplicar la base per si mateixa un nombre enter de vegades.
• Si l'exponent és un nombre negatiu el resultat és 1 dividit entre el resultat d'elevar la base al mòdul del nombre.
• Si l'exponent és 1/n el resultat és la arrel n de la base.
• Si l'exponent és m / n el resultat és la arrel n-èssima del nombre que resulta d'elevar a m la base.
• Si l'exponent és un nombre irracional el resultat és el límit dels resultats d'elevar la base als elements d'una successió de Cauchy de nombres racionals que tendeixi cap al nombre.

Si la base representa la quantitat en que es converteix una unitat de producte desprès d'una unitat de temps i l'exponent representa les unitats de temps que han transcorregut, la funció exponencial es pot interpretar com una funció de creixement o decreixement.

Per exemple, en una inversió que generi un interès del 10% anual una unitat monetària al cap d'un any s'haurà convertit en 1+0,1 = 1,1 unitats monetàries i al cap de x anys en (1,1)^x.

Si un material radioactiu cada any es desintegra un 10% de la seva massa al cap d'un any quedaran 1 – 0,1 = 0,9 unitats de massa per cada unitat de massa original i al cap de x anys en quedaran (0,9)^x.

Fixeu-vos que si la base és més gran que 1 es tracta de processos de creixement i a mesura que augmenta x el resultat de la funció es fa tan gran com es vulgui, mentre que si la base està entre 0 i 1 llavors són processos de decreixement i a mesura que augmenta x el resultat es fa tan proper a zero com es vulgui.

De vegades hi ha processos de creixement en els que es coneix l'augment o disminució de a quantitat inicial al cap d'una unitat de temps, per exemple un 10% d'interès del capital, però que els augments (per exemple els pagament d'interessos) es realitzen en fraccions més petites que la unitat de temps (per exemple els interessos cobrats) i aquests augments també creixen.

Per exemple si el tipus d'interès anual és del 10% però es paga cada ½ any es cobra un 5% cada mig any però aquest interessos també generen interessos durant el mig any que queda, llavors una unitat invertida durant un any genera:

$\left(1+{\frac {0,1}{2}}\right)^{2}$

Si es paga cada 1/12 any (cada més):

$\left(1+{\frac {0,1}{12}}\right)^{12}$

A la natura hi ha fenòmens en què els augments o disminucions es produeixen en fraccions de temps tan petits que es poden considerar que hi ha infinites fraccions en una unitat de temps tan gran com l'any o el segon, per exemple l'augment dels neutrons en una explosió nuclear o la reproducció dels bacteris en un cultiu.

Llavors el ritme de creixement per unitat de temps és aproximadament igual a:

${\underset {n\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,\left(1+{\frac {k}{n}}\right)^{n}$

Al capítol sobre els conjunts numèrics, a la secció sobre els logaritmes s'ha demostrat que aquest límit és igual a e^k on e és:

${\underset {n\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

I val aproximadament 2,7

S'anomena funció exponencial o funció exponencial de base e a la funció exponencial que té per base aquest nombre.

La funció inversa de la funció exponencial de base a' és la funció logarítmica de base a i la inversa de la funció exponencial (és a dir la funció exponencial de base e) és la funció logarítmica o funció logaritme natural (és a dir la funció logarítmica de base e).

Continuïtat de funcions.

El concepte de continuïtat en una funció es correspon amb el concepte intuïtiu de que la seva gràfica “no tingui forats”.

Per poder formalitzar el concepte de no tenir forats cal poder mesurar distàncies tan en el conjunt d'origen com en el de destí, per tant el concepte de funció contínua només es pot establir en funcions que estiguin definides en conjunts on es pot fer això, com per exemple en el conjunt dels nombres reals.

El que una funció sigui contínua permet afirmar certes propietats que seran importants per analitzar el seu comportament, per exemple si una funció és contínua i la seva imatge té dos valors, llavors hi ha un teorema anomenat teorema del valor intermedi que diu que en algun punt la seva imatge té qualsevol dels valors intermedis. Aquest teorema permet determinar, per exemple, que una funció que en algun punt és mes gran que zero i en un altre és més petita, en algun punt té un zero. Fins i tot permet definir un algorisme per trobar el zero

Encara que a primer cop d'ull sembli que la continuïtat hagi de ser una propietat molt normal la veritat és que des del punt de vista matemàtic pot ser molt estranya. Intuïtivament això és fàcil d'explicar. Suposeu que el valor d'una funció real de variable real a cada punt es tria fent un sorteig al atzar entre tots els valors possibles, perquè en un punt donat no hi hagi un “forat” cal que als punts del costat la funció valgui pràcticament el mateix, però la probabilitat que això passi és pràcticament zero, per tant parlant de funcions qualsevol és fàcil entendre que hi ha una infinitat de funcions que no són contínues en cap punt per cada funció que ho sigui en algun punt.

Aquesta observació no s'ha d'interpretar com que les funcions contínues siguin de poc interès pel fet que n'hi ha molt poques. Ans al contrari. Resulta que la majoria de funcions d'interès per la física i les ciències són contínues. De fet les funcions que es defineixen emprant fórmules són contínues gairebé a tot arreu. I de fet les funcions que es defineixen emprant fórmules són les que es poden emprar més fàcilment per explicar fenòmens de la natura i les que es poden estudiar i manipular en matemàtiques.

Exemple d'una funció contínua en el punt x₀ = 2. Cas de funció real de variable real.

La idea de que la gràfica d'una funció no tingui un forat en un punt, en el cas de funcions reals de variable real es pot formalitzar exigint que al voltant de la imatge del punt per la funció es pugui triar un veïnatge tan petit com es vulgui i sempre hi hagi un interval a l'entorn del punt tal que la seva imatge estigui dins d'aquest veïnatge. Fixeu-vos que si hi hagués un forat, o be la funció no tindria imatge al punt o bé al apropar-se al punt per un cantó o per l'altre la imatge no s'aproparia a la imatge del punt i per tant faria un salt deixant el forat.

Observeu el dibuix de la dreta. La idea de funció contínua en un punt s'expressa formalment amb la següent expressió:

$\left(f\ {\acute {e}}s\ cont{\acute {i}}nua\,a\,x_{0}\right)\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0,\exists \eta >0,\forall x\in \left]x_{0}-\eta ,x_{0}+\eta \right[\Rightarrow \left|f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)\right|\leq \varepsilon$

I es llegeix: Una funció f és contínua en el punt x ₀ si i només si, per a qualsevol nombre real ε més gran que zero existeix un nombre real η més gran que zero, tal que tots els punts de l'interval obert des de x₀ - η fins a x ₀ + η tenen la seva imatge a una distància de x₀ més petita que ε.

Fixeu-vos que la definició exigeix implícitament que existeix la imatge de la funció al punt x₀ El fet que es demani que ε sigui més gran que zero vol dir que pot ser tan petit com es vulgui mentre sigui més gran que zero. No es pot exigit que sigui zero perquè pot ser que cap altre punt tret de x ₀ tingui aquesta imatge però si hi hagués un “forat” la imatge dels punts del costat de x ₀ haurien de deixar una separació amb la imatge de x ₀ igual a la mida del forat, llavors es podria trobar un ε pel qual no es pugues trobar η.

Un cop definit el concepte de continuïtat d'una funció en un punt s'estén el concepte a la continuïtat d'una funció en un conjunt de punts simplement dient que la funció és contínua en el conjunt si ho és en tots els seus punts. I per acabar es diu simplement que una funció és contínua si ho és a tots els punts del seu domini.

La definició de continuïtat no resulta gaire pràctica per examinar si una funció la compleix o no. Per fer això en el cas de funcions reals de variable real definides per fórmules es pot fer examinant la fórmula que les defineix si es tenen en compte els següents resultats.

1. La funció constant és contínua.
2. La funció identitat ( f(x) = x ) és contínua.
3. La funció resultat del producte d’una funció contínua per una constant és una funció contínua.
4. La funció resultat de la suma de dues funcions contínues és contínua.
5. La funció resultat del producte de dues funcions contínues és contínua.
6. La funció resultat de la divisió de dues funcions contínues és contínua tret dels punts on la funció denominador valgui zero.
7. La composició de funcions contínues és contínua si el recorregut de la que s'aplica primer està contingut en el domini de la que s'aplica desprès.

A partir dels cinc primers resultats anteriors es pot afirmar que totes les funcions polinòmiques són contínues.

Afegint-hi el sisè resultat es pot afirmar que les funcions racionals són contínues a tot arreu tret dels punts on no estan definides.

Fixeu-vos que amb aquests resultats es estudiar la continuïtat de totes les funcions definides amb fórmules, només cal emprar la definició de continuïtat per estudiar el cas de noves funcions elementals que després s'empraran a les fórmules.

Demostracions

1. En la funció constant f (x) = C no cal reocupar-se en triar η perquè sempre resulta:

$f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)=C-C=0$

i 0 és més petit que qualsevol nombre real ε>0.

2. En la funció identitat es pot agafar per exemple η = ε, llavors:

${\begin{aligned}\left|f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)\right|&=\left|f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)\right|\\&=\left|x-x_{0}\right|\\\end{aligned}}$

I com que $\left|x-x_{0}\right|<\eta$ i $\eta =\varepsilon$, es compleix la condició per dir que la funció és contínua a qualsevol punt x₀.

3. En una funció f(x) = C·g(x) (no cal estudiar el cas C = 0 perquè llavors resulta la funció contant f (x) = 0 i ja s'ha vist que les funcions constants són contínues) n'hi ha prou a triar η de forma que la funció g compleixi la condició per a ε/|C|, això sempre pot ser en ser g contínua i haver de complir la condició de continuïtat per a qualsevol nombre real més gran que zero, donat que ε/|C| és un nombre real més gran que zero si ε és un nombre real més gran que zero i C és diferent de zero, llavors, per qualsevol x₀:

${\begin{aligned}\left|f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)\right|&=\left|C\cdot g\left(x\right)-C\cdot g\left(x\right)\right|\\&=\left|C\right|\cdot \left|g\left(x\right)-g\left(x_{0}\right)\right|\\&<\left|C\right|\cdot {\frac {\varepsilon }{\left|C\right|}}=\varepsilon \\\end{aligned}}$

Per tant la funció f(x) = C·g(x) també és contínua a on ho sigui g(x).

4. En una funció f(x) = g(x) + h(x) n'hi ha prou a triar η de forma que tant g com h compleixin la condició per ε/2 llavors

${\begin{aligned}\left|f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)\right|&=\left|\left[g\left(x\right)+h\left(x\right)\right]-\left[g\left(x_{0}\right)+h\left(x_{0}\right)\right]\right|\\&=\left|\left[g\left(x\right)-g\left(x_{0}\right)\right]+\left[h\left(x\right)-h\left(x_{0}\right)\right]\right|\\&<\left|\left[g\left(x\right)-g\left(x_{0}\right)\right]\right|+\left|\left[h\left(x\right)-h\left(x_{0}\right)\right]\right|\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon \\\end{aligned}}$

5. En una funció f(x) = g(x) · h(x) es tria η de forma que tant g com h compleixin la condició per un ε₁ que sigui al mateix temps:

$\left\{{\begin{matrix}\varepsilon _{1}<{\frac {1}{2}}{\frac {\varepsilon }{h\left(x_{0}\right)+g\left(x_{0}\right)}}\\\varepsilon _{1}<{\sqrt {\frac {\varepsilon }{2}}}\\\end{matrix}}\right.$

Llavors resulta que:

${\begin{aligned}\left|f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)\right|&=\left|g\left(x\right)\cdot h\left(x\right)-g\left(x_{0}\right)\cdot h\left(x_{0}\right)\right|\\&<\left|\left[g\left(x_{0}\right)+\varepsilon _{1}\right]\cdot \left[h\left(x_{0}\right)+\varepsilon _{1}\right]-g\left(x_{0}\right)\cdot h\left(x_{0}\right)\right|\\&=\left|g\left(x_{0}\right)\cdot h\left(x_{0}\right)+\varepsilon _{1}\cdot h\left(x_{0}\right)+g\left(x_{0}\right)\cdot \varepsilon _{1}+\varepsilon _{1}^{2}-g\left(x_{0}\right)\cdot h\left(x_{0}\right)\right|\\&=\left|\varepsilon _{1}\cdot \left[h\left(x_{0}\right)+g\left(x_{0}\right)\right]+\varepsilon _{1}^{2}\right|\\&<\left|{\frac {1}{2}}{\frac {\varepsilon }{h\left(x_{0}\right)+g\left(x_{0}\right)}}\cdot \left[h\left(x_{0}\right)+g\left(x_{0}\right)\right]+\left({\sqrt {\frac {\varepsilon }{2}}}\right)^{2}\right|\\&=\left|{\frac {1}{2}}\varepsilon +{\frac {1}{2}}\varepsilon \right|=\left|\varepsilon \right|=\varepsilon \\\end{aligned}}$

6. Un cop demostrada la continuïtat del producte de funcions, per demostrar la continuïtat del quocient de funcions contínues n'hi ha prou amb demostrar-la per la funció f=1/g. En aquest cas només es pot garantir la continuïtat si hi ha un veïnatge (en cas de nombres reals un interval que conté el punt) de x₀, inclòs x₀ on g és diferent de zero a tots els punts, llavors donat que g és contínua es pot cercar un η que compleixi la condició per ε₁ i triar ε₁ de forma que sigui:

$\varepsilon _{1}=\varepsilon \cdot \left(Min\left[\left|g\left(x\right)\right|\right]\right)^{2}$

On $Min\left[\left|g\left(x\right)\right|\right]$ vol dir el valor del mòdul més petit de tots els que adopta la funció g dins del veinatge de x₀, llavors resulta:

${\begin{aligned}&\left|f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)\right|=\left|{\frac {1}{g\left(x\right)}}-{\frac {1}{g\left(x_{0}\right)}}\right|\\&<\left|{\frac {g\left(x_{0}\right)-\left[g\left(x_{0}\right)-\varepsilon _{1}\right]}{g\left(x\right)\cdot g\left(x_{0}\right)}}\right|=\left|{\frac {\varepsilon _{1}}{g\left(x\right)\cdot g\left(x_{0}\right)}}\right|\\&<\left|{\frac {\varepsilon _{1}}{\left(Min\left[g\left(x\right)\right]\right)^{2}}}\right|=\left|{\frac {\varepsilon \cdot \left(Min\left[g\left(x\right)\right]\right)^{2}}{\left(Min\left[g\left(x\right)\right]\right)^{2}}}\right|=\varepsilon \\\end{aligned}}$

7. Continuïtat de la composició de funcions.

Límits puntuals. Límits laterals.

El concepte de límit d'una funció en un punt correspon a la idea de la imatge de la funció en apropar-se tan com es vulgui al punt sense acabar d'arribar-hi del tot. Aquest concepte permet que es pugui treballar amb la funció en el punt fins i tot en casos en què la funció no està definida en el punt.

En el cas de límits de funcions reals de variable real aquest concepte es pot formalitzar de la següent manera:

${\underset {x\to p}{\mathop {\lim } }}\,f\left(x\right)=L\Leftrightarrow \forall \varepsilon \in \Re ,\varepsilon >0,\exists \delta \in \Re ,\delta >0,0<\left|x-p\right|<\delta \Rightarrow \left|f\left(x\right)-L\right|<\varepsilon$

I es llegeix: El límit de la funció f (x) quan x tendeix a p és igual a L si i només si per a qualsevol nombre real ε més gran que zero, existeix un nombre real δ més gran que zero tal que quant el mòdul de la diferència entre p i x és més petit que δ llavors el mòdul de la diferència entre f(x) i L és més petit que ε.

El fet que ε pugui ser qualsevol nombre real més gran que zero vol dir que el seu mòdul pot ser tan petit com es vulgui mentre no arribi a ser zero. Per tant l'enunciat està dient que el límit de la funció a p és L si el valor de la funció és tant proper a L com es vulgui sense arribar a tocar L en un veïnatge entorn a p, naturalment, aquest veïnatge pot ser molt petit si δ ho és però sempre existeix i és més gran que zero.

Fixeu-vos que aquesta definició no exigeix que la funció estigui definida en el punt p, en canvi comparant-la amb la definició de continuïtat de la funció en el punt p és clar que si la funció està definida en p serà contínua a p si i només si, el límit de la funció a p és igual al valor de la funció a p. Només cal fer f(p) = L i δ = η.

Límits laterals

Pot succeir que el comportament local de la funció $f\,\!$ sigui diferent « per l'esquerra » de $a\,\!$ (és a dir per a les $x<a\,\!$) i « per la dreta » de $a\,\!$ (és a dir per a les $x>a\,\!$). Per exemple, una funció pot admetre un límit per la dreta i no per l'esquerra, o també admetre dos límits diferents de cada costat.

S'introdueixen les nocions de límit per la dreta i per l'esquerra ; la sola diferència amb els límits « normals » és que la proximitat de $f(x)\,\!$ amb $l\,\!$ o $\pm \infty \,\!$ és demanada només per a un costat de $a\,\!$. Les definicions i notacions corresponents esdevenen doncs:

• per al límit per l'esquerra:

$\lim _{x\to a,x<a}f(x)=l,\!$ quan

$a-\delta \leq x<a\ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon$

• per al límit per la dreta:

$\lim _{x\to a,x>a}f(x)=l,\!$ quan

$a<x\leq a+\delta \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon$

Les nocions de límit per la dreta i per l'esquerra són menys resrictives que la noció clàssica de límit « bilateral » : una funció pot tenir un límit per l'esquerra i un límit per la dreta sense tenir un límit bilateral. De fet hom heu la propietat:

Una funció té un límit en un punt $a\,\!$ si i només si té un límit per l'esquerra $l_{e}\,\!$ i un límit per la dreta $l_{d}\,\!$ i aquests són iguals : $l_{g}=l_{d}\,\!$

Límits infinits

Pot també succeir que al punt $a\,\!$ la funció $f\,\!$ no hi hagi límit finit, sinó infinit. Això vol dir que, s'acostant a $a\,\!$ el valor de $f\,\!$ "s'acosta" a $+\infty \,\!$ o a $-\infty \,\!$; és a dir, esdeven grand quant se vol en valor absolut i es manten de signe positiu (cas de $+\infty \,\!$) o negatiu ($-\infty \,\!$).

La formulació matemàtica és llavors la següent: per a cada « llindar de tolerància » $M>0\,\!$ es pot trobar un « descart de confidència » $\delta >0\,\!$ tal que, dès que $x\,\!$ és prop de $a\,\!$ a menys de $\delta \,\!$, llavors $\vert f(x)\vert \,\!$ és major que $M\,\!$ i $f\!$ es manten de signe constant: $a-\delta \leq x\leq a+\delta \ \Rightarrow \vert \ f(x)\vert \geq M$ i: $f(x)>0$ per al cas del límit $+\infty$, $f(x)<0$ per al cas del límit $-\infty$.

En altres mots, es pot fer $f(x)\,\!$ tant prop de $\pm \infty$ que se vol, sobre un interval -si prou petit-, al voltant de $a\,\!$.

En aquest cas s'escriu $\lim _{x\to a}f(x)=+\infty \,\!$ (o $\lim _{x\to a}f(x)=-\infty \,\!$).

Classificació de discontinuïtats

Per classificar els tipus de discontinuïtats que una funció pot tenir en un punt es treu profit de les condicions que relacionen la continuïtat amb el límits.

Es diu que una funció és discontínua en un punt o que hi té una discontinuïtat si la funció no és contínua en aquell punt.

La condició que perquè una funció sigui contínua en un punt ha de tenir límit en el punt i aquest ha de ser igual al valor de la funció en el punt dóna el primer criteri:

Es diu que una funció presenta una discontinuat evitable en un punt quant el límit de la funció en el punt existeix però no és igual al valor de la funció en el punt, en aquest cas es pot definir una nova funció que sí que és contínua a base de fer-la igual a la funció original a tot arreu tret del punt de discontinuïtat on se li assigna el valor del límit en comptes del valor de la funció.

Els altres tipus es corresponen a casos on la funció no té límit en el punt. Però pot succeir que en tingui de laterals.

Es diu que una funció presenta una discontinuïtat de salt en un punt quan la funció té limit per la dreta i també per l'esquerra en el punt però aquests límits no són iguals.

Altrament la funció ni té límit ni en té per la dreta o per l'esquerra, per ò encara es pot distinguir dos casos: di els límits laterals no existeixen perquè són infinits o no existeixen perquè la funció ni s'apropa a cap nombre ni es fa més i més gran (o més i més petita).

Es diu que una funció presenta una discontinuïtat asimptòtica en un punt quant la funció tendeix cap a l'infinit en el punt.

Per últim es diu que una funció presenta una discontinuïtat essencial en un punt quan la funció ni té límit en el punt ni tendeix cap al infinit.

Discontinuïtat evitable	Discontinuïtat de salt
Discontinuïtat asimptòtica	Discontinuïtat essencial

Càlcul de límits en funcions definides per fórmules

En la secció de continuïtat s'ha vist que les funcions reals de variable real definides per fórmules a partir de la funció identitat i operacions amb ella són contínues gairebé a tot arreu. Aquest estudi es pot ampliar a funcions exponencials, logarítmiques, trigonomètriques etc. i a les funcions definides amb operacions a partir d'aquestes.

En els punts on aquestes funcions estan definides s'ha vist que el límit de la funció en el punt coincideix amb el valor de la funció al punt. Per tant no cal fer res més que avaluar la funció.

En el punt on no estan definides és on cal estudiar les diferents tècniques per tal de calcular els límits.

Per tal de calcular límits de funcions que no estan definides en un punt és útil el següent teorema:

Una funció f té limit L en un punt x0 si i només si per a tota successió Sn que tendeixi a x0 la successió f (Sn) tendeix a L.

Nota: Repasseu els continguts sobre límits de successions que s'han explicat a la secció sobre nombres reals del primer capítol d'aquest llibre.

Aquest teorema permet calcular límits amb la següent estratègia:

1. Es defineix una successió genèrica que tendeix cap a x₀. Genèrica vol dir que pot representar qualsevol de les successions que tendeixen a x₀. Per tant el seu terme genèric es representa emprant una variable.
2. Es calcula la successió f (S_n).
3. Es calcula el límit de la successió f (S_n).
4. Si aquest límit és independent de la successió inicial triada, és a dir, si en l'expressió del límit desapareix la variable que representa el terme genèric de la successió, llavors el límit de la successió és el límit de la funció. Altrament la funció no té límit en aquest punt.

Demostració del teorema:

a)Directe.

Si la funció té límit L llavors, donat ε > 0 existeix un η > 0 tal que | f(x) - L | < ε sempre que |x - x₀ | < η.

Però S_n -> x₀ per tant es pot trobar un nombre natural n ₀ tal que si n > n ₀ |x₀ - S_n | < η.

D'aquesta manera a partir d'un ε > 0 s'ha trobat un n ₀ tal que si n > n ₀ es verifica que | f (S_n) - L | < ε. Per tant s'ha demostrat que el límit de f (S_n) és L.

b)Inversa.

Es demostra per reducció al absurd.

En el cas en què tota successió formada per la imatge per la funció de qualsevol successió que tendeixi a x₀ tendeix a L però suposant que la funció no tendís a L. Llavors existiria un ε > 0 tal que per a cada η = 1/n ( n un nombre natural) hi ha punts x_n diferents de x₀ tals que | x₀ - x_n | < 1/n = η i |f( x_n ) > ε. Per a cada η = 1/n es tria un d'aquests punts i s'anomena S_n. En fer això s'hauria obtingut una successió que tendeix a x₀ tal que |S_n - L | > ε per a tot n per tant que no tendiria a L com és el cas. Per tant no pot ser que la funció no tendeixi a L.

Un cop establert aquest teorema la idea és que qualsevol successió que tendeixi a p es pot escriure com la suma de la successió constant p,p,p.... i una successió que tendeixi a zero ε₁, ε₂, ... ε_n tal que tots els seus membres siguin diferents de zero.

Per calcular el límit s'avalua la funció en el punt p+ ε_n. Com que en tots aquests punts la funció sí que està definia, es pot calcular.

Els casos on les funcions definides per fórmules no es poden calcular directament en un punt són deguts a que en el procés de calcular la fórmula apareixen expressions com per exemple divisions entre zero que no estan definides.

Quan el denominador que tendeix a zero, per exemple, si el numerador també tendeix a zero es podrà calcular depenent de quin dels dos hi tendeixi “més ràpid” si el numerador hi tendeix més ràpid la divisió tendirà a zero, si tots dos hi tendeixen amb una rapidesa comparable la divisió tendirà a un nombre que indicarà la relació entre aquestes dues rapideses, si és el denominador qui hi tendeix més ràpid llavors el resultat de la divisió es farà més i més gran i no tindrà límit (o en aquest cas el tindrà a l'infinit). Aquesta situació s'anomena una indeterminació i s'identifica perquè en intentar avaluar la funció apareix una operació no definida. en aquest cas la indeterminació 0/0.

Altres possibles indeterminacions són 0•∞ , ∞/∞ , ∞ - ∞ i 1^∞ . On ∞ vol dir que una part de la fórmula que defineix la funció tendeix a infinit en el punt.

Exemples de càlcul de límits emprant la tècnica que s'ha explicat.

Funció racional on el numerador i el denominador valen zero al punt. (Indeterminació 0/0)

Per calcular el límit de la funció:

${\underset {x\to 0}{\mathop {\lim } }}\,{\frac {3{{x}^{2}}+2x}{{{x}^{3}}+3x}}$

Es transforma en el límit d'una successió genèrica:

${\underset {x\to 0}{\mathop {\lim } }}\,{\frac {3{{x}^{2}}+2x}{{{x}^{3}}+3x}}={\underset {n\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {3\cdot {{\varepsilon }_{n}}^{2}+2{{\varepsilon }_{n}}}{{{\varepsilon }_{n}}^{3}+3\cdot {{\varepsilon }_{n}}}}$

Tal que ε_n tendeix a zero quan n tendeix a infinit. Ara, com que ε_n és diferent de zero per a tot n, es pot dividir numerador i denominador entre ε_n i s'obté:

${\underset {n\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {3\cdot {{\varepsilon }_{n}}^{2}+2{{\varepsilon }_{n}}}{{{\varepsilon }_{n}}^{3}+3\cdot {{\varepsilon }_{n}}}}={\underset {n\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {3\cdot {{\varepsilon }_{n}}+2}{{{\varepsilon }_{n}}^{2}+3}}$

Ara ja es pot avaluar la successió en el límit perquè ja no dóna una indeterminació:

${\underset {n\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {3\cdot {{\varepsilon }_{n}}+2}{{{\varepsilon }_{n}}^{2}+3}}={\frac {3\cdot 0+2}{{{0}^{2}}+3}}={\frac {2}{3}}$

Per avaluar el límit de la funció:

${\underset {x\to 2}{\mathop {\lim } }}\,{\frac {{{x}^{2}}-4}{3{{x}^{2}}-5x-2}}$

Fixeu-vos que no es pot calcular avaluant directament la funció en el punt x = 2 perquè en aquest punt tant el numerador com el denominador valen zero. per tant s'aplica la mateixa tècnica:

${\underset {x\to 2}{\mathop {\lim } }}\,{\frac {{{x}^{2}}-4}{3{{x}^{2}}-5x-2}}={\underset {n\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {{{\left(2+{{\varepsilon }_{n}}\right)}^{2}}-4}{3{{\left(2+{{\varepsilon }_{n}}\right)}^{2}}-5\left(2+{{\varepsilon }_{n}}\right)-2}}$

Ara operant queda:

${\begin{aligned}{\underset {n\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {{{\left(2+{{\varepsilon }_{n}}\right)}^{2}}-4}{3{{\left(2+{{\varepsilon }_{n}}\right)}^{2}}-5\left(2+{{\varepsilon }_{n}}\right)-2}}&={\frac {{{2}^{2}}+2{{\varepsilon }_{n}}+{{\varepsilon }_{n}}^{2}-4}{3\left({{2}^{2}}+2{{\varepsilon }_{n}}+{{\varepsilon }_{n}}^{2}\right)-10-5{{\varepsilon }_{n}}-2}}\\&={\frac {2{{\varepsilon }_{n}}+{{\varepsilon }_{n}}^{2}}{12+6{{\varepsilon }_{n}}+3{{\varepsilon }_{n}}^{2}-10-5{{\varepsilon }_{n}}-2}}\\&={\frac {2{{\varepsilon }_{n}}+{{\varepsilon }_{n}}^{2}}{{{\varepsilon }_{n}}+3{{\varepsilon }_{n}}^{2}}}\\\end{aligned}}$

on també es pot dividir numerador i denominador entre ε_n i calcular el límit avaluant en el valor de ε_n al límit:

${\underset {n\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {2{{\varepsilon }_{n}}+{{\varepsilon }_{n}}^{2}}{{{\varepsilon }_{n}}+3{{\varepsilon }_{n}}^{2}}}={\underset {n\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {2+{{\varepsilon }_{n}}}{1+3{{\varepsilon }_{n}}}}={\frac {2+0}{1+3\cdot 0}}=2$

Resta de dues fraccions racionals on els numeradors tenen un valor diferent de zero i els denominadors zero. (Indeterminació ∞ - ∞)

Potència on l'exponent tendeix a infinit i la base a 1. (Indeterminació 1^∞)

Límits de funcions trigonomètriques

Aquests límits són importants per poder calcular en el proper capítol les dedivades de les funcions trigonomètriques.

Límit del quocient entre el sinus i l'angle en tendir l'àngle a zero

Il·lustració de les desigualtats del sinus i la tangent.

$\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1$

Demostració: Primer cal veure que per angles petits:

$\sin \theta <\theta <\tan \theta \,$

La figura de la dreta mostra un sector d'un cercle de radi 1. Aquest sector és una fracció θ/(2π) del cercle compert, per tant la seva àrea és θ/2.

$OA=OD=1\,$

$AB=\sin \theta \,$

$CD=\tan \theta \,$

L'àrea del triangle OAD és AB/2, o sinθ/2. L'àrea del triangle OCD és CD/2, o tanθ/2.

Donat que el triangle OAD queda completament dins del sector, que al'hora queda completament dins del triangle OCD, es té

$\sin \theta <\theta <\tan \theta \,$

Aquest argument geomètric és vàlid si 0<θ<π/2.

Per tant

${\frac {\sin \theta }{\theta }}<1<{\frac {\tan \theta }{\theta }}\,$, així

${\frac {\sin \theta }{\theta \cos \theta }}>1\,$, o

${\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,$, per tant

$\cos \theta <{\frac {\sin \theta }{\theta }}<1\,$, però

$\lim _{\theta \to 0}{\cos \theta }=1\,$, d'aquí

$\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1$

Límit del quocient entre u menys el cosinus i l'angle en tendir l'angle a zero

$\lim _{\theta \to 0}{\frac {1-\cos \theta }{\theta }}=0\,$

Demostració:

${\frac {1-\cos \theta }{\theta }}={\frac {1-\cos ^{2}\theta }{\theta (1+\cos \theta )}}\,$

$={\frac {\sin ^{2}\theta }{\theta (1+\cos \theta )}}\,$

$={\frac {\sin \theta }{\theta }}\times \sin \theta \times {\frac {1}{1+\cos \theta }}\,$

Els límits d'aquestes tres quantitats són respectivament 1, 0, i 1/2, per tant el límit resultant és zero.

Introducció als nombres hipereals

Fixeu-vos que quan es van definir els nombres reals es van identificar amb els límits de les successions de Cauchy. Repasseu el capítol 1. Un altre forma de veure-ho és pensar que un nombre real és la classe d'equivalència de totes les successions de Cauchy que tenen els mateix límit.

Ara al intentar calcular límits de funcions en determinats punts, hi ha casos en que no es pot calcular el límit avaluant la funció però el límit existeix. Per fer el càlcul s'ha de substituir el nombre per una successió gen`rica que tendeix al nombre i llavors operar amb la successió.

En el fons el problema pel qual no es pot fer el càlcul directament amb els nombres reals és perquè "han perdut la memòria" de la successió que els defineix i cal reconstruir-la.

Els nombres hiperreals es poden entendre com una extensió dels nombres reals on no s'identifiquen totes les successions de Cauchy amb el mateix límit sinó que es consideren diferents les que tendeixen amb diferent rapidesa al límit.

La successió que hi tendeix més de presa és una successió tal que tots els seus termes són iguals al nombre (o tots els seus termes a partir d'un de donat). Aquesta successió s'identifica amb el nombre real. Per tant els nombres hipereals contenen els reals.

Qualsevol altra successió que tendeixi a x però tal que els seus termes siguin tots diferents de x es pot expressar com una successió tal que tots els seus termes són x més un valor que tendeix a zero:

${\underset {n\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{{s}_{n}}=x\Rightarrow {\underset {n\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,\left({{s}_{n}}-x\right)=0$

Anomenant:

${{\varepsilon }_{n}}={{s}_{n}}-x$

Es té que:

$x={\underset {n\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{{s}_{n}}={\underset {n\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,\left(x+{{\varepsilon }_{n}}\right)$

Els nomes hipereals es construeixen estenent els nombres reals de manera que es pugui conservar la memòria de lo ràpid que s'hi arriba. Per fer això s'afegeixen nombres anomenats infinitèsims que es defineixen com nombres més grans que zero però més petits que qualsevol nombre real més gran que zero:

$\varepsilon >0\wedge \varepsilon <x\ \forall x\in \Re \ x>0$

Per notar els infinitèsims normalment es fan servi les lletres gregues $\varepsilon$ i $\delta$.

Un infinitèsim es pot interpretar com una successió de Cauchy que tendeix a zero però que no hi ha cap terme a partir del qual tots siguin zero.

Perquè es puguin fer les operacions aritmètiques habituals en el conjunt dels nombres hipereals cal admetre també nombres infinits de forma que l'invers d'un nombre infinitesimal és un nombre infinit:

${\frac {1}{\varepsilon }}=K$

On K és un nombre infinit. Els nombres infinits es noten normalment emprant lletres majúscules.

Qualsevol nombre hipereal x^* es pot escriure com la suma d'un nombre infinit més un nombre real més un infinitèsim:

${{x}^{*}}=K+x+\varepsilon$

Per indicar que una variable representa un nombre hipereal se li posa un asterisc.

Els nombres hiperreals que són de la forma $x+\varepsilon$ es diu que són finits. Tots els nombres hipereals formats sumant un nombre infinit K amb un nombre hiperreal finit es diu que pertanyen a la galàxia de K. Tots els nombres hiperreals formats sumant un infinitèsim a un nombre real x es diu que pertanyen a la mònada de x.

Es defineix la funció part estàndard del conjunt dels nombres hiperreals finits en el conjunt dels nombres reals de la següent manera, si

${{x}^{*}}=x+\varepsilon$

llavors la part estàndard de x^* és x i s'escriu:

$st\left|{{x}^{*}}\right|=st\left|x+\varepsilon \right|=x$

Qualsevol funció definia en el conjunt dels nombres reals emprant una fórmula es pot estendre al conjunt dels nombres hiperreals simplement aplicant-los la mateixa fórmula.

A partir d'aquí es facil veure que calcular límits de funcions es pot fer molt fàcilment emprant nombres hiperreals: Només cal calcular el valor de la funció estesa en un nombre hiperreal de la mónada del punt on no està definita (però en els punts de la seva mónada si) i després trobar la part estàndard del resultat. Per trobar la part estpandard del resultat cal fer operacions algebraiques fins a aconseguir que s'expresi en forma d'un nombre real més un infinitessim. Però això és exactament el que s'ha fet en calcular els limits emprant successions, ara només s'estalvia la notació de límit i el subíndex.

${\underset {x\to a}{\mathop {\lim } }}\,f\left(x\right)=st\left|f\left(a+\varepsilon \right)\right|$

Val a dir que és molt pràctic emprar els infinitèsims en el càlcul infinitesimal. Els seus inventors, tant Newton com en Euler el varen desenvolupar pensant en nombres infinitesimals.

A l'apartat de derivades es faran servir els nombres hiperreals perquè simplifiquen molt la notació i permeten concentrar l'atenció en les idees.