Vés al contingut

Matemàtiques (Prova d'accés a cicles formatius de grau superior)/Derivades

Taxa de variació mitjana. Concepte de derivada. Càlcul de derivades de funcions elementals.[modifica]

El pendent de la corba f(x) en el punt és igual al pendent de la recta tangent a la corba en el punt i és també igual a la derivada de la corba en aquest punt.‎

La derivació és un mètode per calcular el ritme al que varia una quantitat, y, (per exemple la posició d'un cotxe en una carretera recta) respecte al canvi d'un altre quantitat x (per exemple el temps), quan la quantitat y en relació a la quantitat x és una variable dependent. D'aquest tipus de canvi se'n diu la derivada de y respecte de x. Parlant amb més precisió, la dependència de y respecte de x significa que y és una funció de x (en l'exemple que la posició del cotxe és una funció del temps). Si x i y són nombres reals, i si la gràfica de y es dibuixa respecte de x, la derivada mesura el pendent d'aquesta gràfica en cada punt. Aquesta relació sovint s'indica amb la fórmula y = f(x), on f indica funció.

El cas més senzill es dóna quan y és una funció lineal de x (per exemple quan el cotxe recorre distàncies directament proporcionals al temps transcorregut); això vol dir que la gràfica de y respecte de x és una línia recta (en l'exemple a doble temps doble recorregut, a triple temps triple recorregut... i tots els punts de la gràfica queden damunt d'una recta). En aquest cas, y = f(x) = m x + c (l'equació d'una recta en coordenades cartesianes), on m i c, són nombres reals (en l'exemple del cotxe m és la velocitat, que en aquest cas senzill és constant, i c és la posició on es troba el cotxe quan x val zero, és a dir, la posició inicial). El pendent m ve donat per:

El símbol Δ (la lletra grega delta en majúscula) és l'abreviació de "canvi de" o "increment de". Aquesta fórmula és certa perquè, si s'agafa un punt (x0 , y0) a partir del qual es calcula la variació o increment resulta que els increments de y i de x són:

Per tant:

Tanmateix,, com que y és sempre funció de x, és a dir:

Substituint aquestes expressions de y i de y0 al quocient anterior resulta:

I operant queda:

Figura 2. La secant a la corba y= f(x) determinada pels punts (x, f(x)) i (x+h, f(x+h)).
Figura 3. La recta tangent com a límit de secants.

D'aquí en resulta que Δy = m Δx.

Això dóna un valor exacte i constant per al pendent d'una línia recta i a més aquest valor és independent del punt x0 que s'ha triat per fer el càlcul (cal fixar-se en què el valor x0 desapareix de l'equació al simplificar-la). En canvi, si la funció f no és lineal, és a dir, si la seva gràfica no és una línia recta, llavors el canvi de y dividit pel canvi de x varia en variar el punt x0 , triat per fer el càlcul. La derivació és un mètode per trobar un valor exacte per aquest ritme de canvi a qualsevol valor donat de x0.

La idea, tal com s'il·lustra a les figures 1, 2 i 3, és la de calcular el ritme de canvi com el valor límit del quocient de diferències Δy / Δx a mesura que Δx esdevé infinitament petit.

En la notació de Leibniz, aquest canvi infinitesimal de x s'escriu dx, i la derivada de y respecte de x s'escriu

Un tipus de formulació que suggereix el quocient entre dues quantitats infinitesimals.

Sia y=f(x) una funció de x; la derivada de y respecte de x al punt a és, geomètricament parlant, el pendent de la recta tangent a la gràfica de f al punt a. El pendent de la tangent és molt proper al pendent de la recta que passa per (a, f(a)) i un punt molt proper en la gràfica, per exemple (a + h, f(a + h)). D'aquesta recta se'n diu recta secant. Un valor de h proper zero donarà una bona aproximació al pendent de la recta tangent, i valors més petits (en valor absolut) de h donaran, en general, millors aproximacions. El pendent de la recta secant és la diferencia entre els valors de y en aquest dos punts, dividit per la diferencia entre els valors de x. És a dir,

Aquesta expressió és el quocient de diferències de Newton. La derivada és el valor del quocient de diferències a mesura que la secant es fa més i més propera a la tangent. Formalment, la derivada de la funció f a a és el límit

que és el límit del quocient de diferències quan h tendeix a zero, si aquest límit existeix. Si el límit existeix, llavors f és derivable al punt a. Aquí f′ (a) és una de les múltiples notacions de la derivada

Funció derivada[modifica]

Sia f una funció que té derivada a cada punt a del seu domini. Com que a cada punt a té una derivada, hi ha una funció que a cada punt a li fa correspondre la derivada de f al punt a. Aquesta funció s'escriu f′(x) i es diu la funció derivada o la derivada de f. La derivada de f recull totes les derivades de f a tots els punts del domini de f.

De vegades f té derivada a molts, però no a tots, el punts del seu domini. La funció que a cada punt a per al que f′(a) està definida li fa correspondre f′(a) i que no està definida en la resta de punts, també es diu la derivada de f. Aquesta funció encara és una funció, però el seu domini és estrictament més petit que el domini de f.

Fent servir aquesta idea, la derivació esdevé una funció de funcions: La derivada és un operador el domini del qual és el conjunt de totes les funcions que tenen derivades a tots els punts del seu domini i el recorregut de l'operador és un conjunt de funcions. Si s'indica aquest operador per D, llavors D(f) és la funció f′(x). Com que D(f) és una funció, es pot avaluar al punt a. Per la definició de la funció derivada, D(f)(a) = f′(a).

A tall de comparació, es considera la funció f(x) =2x; f que és una funció real sobre els nombres reals, això vol dir que agafa nombres com a arguments i que dóna nombres com a resultats:

L'operador D, en canvi, no està definit sobre nombres individuals. Només està definit sobre funcions:

Com que el resultat de D és una funció, el resultat de D es pot avaluar en un punt. Per exemple, quant D s'aplica a la funció d'elevar al quadrat,

Dóna la funció duplicar, de la qual en diem f'(x). Llavors aquesta funció resultat es pot avaluar per obtenir f(1) = 2, f(2) = 4, i així.

Derivada emprant nombres hiprreals[modifica]

En la resta del text per trobar les fórmules de cáclul de derivades es farà servir la definició basada en nombres hiperreals. Això permet seguir el camí emprat per Newton i Leibniz en crear el càlcul infinitesimal i entendre millor els raonaments sense distraure l'atenció en límits.

Es defineix una funció que a cada nombre hiperreal finit li assigna un nombre real anomenat la seva part estàndard (és una funció anàloga a la funció part entera que a cada nombre real li assigna el nombre enter resultat de descartar els decimals en expressar-lo en notació decimal). Aquesta funció es defineix de la següent manera, si x* = x + ε és un nombre hiperreal finit, llavors st(x*)=x

Qualsevol funció real definida per una fórmula es pot estendre de manera natural per tal d'obtenir una funció, el recorregut i la imatge de la qual siguin en el conjunt dels nombres hiperreals a base d'aplicar la fórmula als nombre hiperreals. Per exemple l'extensió hiperreal de la funció f(x)=x2 és f*(x) de forma que f' *(x + ε)=(x + ε)2

A partir d'aquesta base, definir la derivada és molt senzill.

Emprant nombres hiperreals el càlcul de la derivada en un punt a s'interpreta com calcular el pendent d'una recta secant traçada dins de la mònada de a. Aquesta recta si es mira en el conjunt dels nombres reals és tangent a la recta en el punt a dons la distància entre el punt a + ε i el punt a és més petita que qualsevol nombre real més gran que zero.

La derivada d'una funció en un punt és la part estandard del quocient entre l'increment de la funció (de fet l'extensió de la funció) i l'increment de la variable independent quant l'increment de la variable independent és infinitesimal.

Per exemple

És a dir, la derivada de la funció en un punt es calcula ficant-se a dins de la mònada del punt, agafant un increment infinitesimal qualsevol de la variable independent, calculant l'increment que es produeix en la variable dependent i dividint-los, llavors se surt de la mònada negligint els infinitesimals.

Perquè la derivada existeixi cal que el quocient sigui un nombre hiperreal finit (sinó no esta definida la part estàndard), per tant per calcular la derivada s'ha d'operar per veure si l'expressió del quocient es pot arribar a expressar en forma de la suma d'un nombre real més un infinitesimal. En el cas de l'exemple:

Com que en aquest cas el resultat és un nombre hiperreal finit la derivada existeix i d'acord amb la definició de la funció part estàndard val:

Perquè

Regles per al càlcul de derivades[modifica]

La funció derivada de qualsevol funció construïda com a combinació (sumes restes multiplicacions divisions i composicions) de les funcions elementals es pot calcular de forma mecànica emprant les regles per al càlcul de derivades un cop conegudes les derivades de les funcions elementals.

S'expliquen primer les regles de càlcul de derivades i després es calcularan les derivades de les funcions elementals perquè per trobar-les en alguns casos cal emprar les regles.

Per deduir les regles de càlcul de derivades y per deduir les funcions derivades de les funcions elementals es farà servir nombres hipereals i la definició de derivada en base a nombres hipereals.

És molt important entendre clarament d'on surten aquestes fórmules i els nombres hipereals permeten un càlcul més directe. Algunes expressions són llargues però totes són resultat de l'aplicació de les regles elementals del àlgebra, de forma que es pot seguir sense necessitat de recorre a demostracions enginyoses però que fan perdre el fil del càlcul directe del resultat que es cerca.

El nombres hipereals no entren en el temari de la prova d'accés però això no és un problema perquè com que les demostracions d'aquestes fórmules tampoc, el fet que s'expliquin emprant-los no dificulta el poder aprovar l'examen. En canvi facilita la comprensió de les demostracions.

En aquesta secció es faran servir lletres f, g i h per representar funcions reals de variable real, i l'operador D per indicar la derivada de una funció. Així D(f) = g vol dir que la funció derivada de la funció f és la funció g. fixeu-vos que si f i g es consideren elements del conjunt de les funcions reals de variable real D és una funció de funcions, és a dir una funció que a cada funció real de variable real f li fa correspondre un altre funció real de variable real g tal que g és la funció derivada de f.

Producte d'una constant per una funció[modifica]

Si la funció f s'ha obtingut a partir de la funció g com a f = C·g, on C és una constant, la funció derivada de f resulta ser:

Per tant només cal calcular la derivada de g i multiplicar-la per C.

Suma de dues funcions[modifica]

Si la funció f s'ha obtingut a partir de les funcions g i h com a f = g+h, la funció derivada de f resulta ser:

Producte de dues funcions[modifica]

Si la funció f s'ha obtingut a partir de les funcions g i h com a f = g·h, per calcular la la funció derivada de f s'ha de tenir en compte que per a qualsevol funció, de la definició de funció derivada resulta que:

On és un infinitesimal.

Llavors a partir de la definició de derivada, aplicant-la a la funció f i aplicant el resultat anterior a les funcions g i h s'obté:

Fixeu-vos que al calcular la par estàndard s'ha simplicat tot perquè els únics termes finits són els dos primers els altres són tots infinitesimals.

Fixeu-vos també que al final s'ha substituït h (x) per h i g(x) per g per tal de tenir una notació més compacta, però les dues expressions volen dir el mateix, la funció h i la funció g respectivament.

Quocient de dues funcions[modifica]

Si es té f=g/h llavors:

Per tant aplicant la regla del producte:

De on es dedueix que:

Substituint f per g/h:

I operant:

Composició de dues funcions[modifica]

Si una funció és el resultat de la composició d'altres dues, la derivada del resultat de la composició es pot calcular a partir de la derivada de cada una de les funcions inicials.

Aplicant la definició de derivada a la composició de les funcions f i g es pot escriure:

Per simplificar el càlcul es fa el següent canvi de variables:

De forma que:

Substituint en l'expressió de la derivada de la composició de funcions i després multiplicant per una fracció que val 1 queda:

Tornant a substituir s'obté:

Funció inversa d'una funció[modifica]

Per trobar la derivada de la funció inversa d'una funció f és a dir la derivada de la funció f-1 que a cada imatge de f li assigna altre cop l'origen, s'aplica la regla de la composició de funcions a la funció resultat de compondre la funció inversa amb la funció. Com que el resultat de aplicar la funció inversa al resultat d'alicar la funció és empre el mateix valor inicial es pot escriure:

A la següent secció es troba que la derivada de la funció identitat (és a dir de la funció f(x) = x) val 1. Per tant, aplicant aquest resultat i la regla de la derivada de la composició de funcions i operant s'obté:

Composant les funcions dels dos cantons de la igualtat amb la funció f per la dreta resulta:

Taula resum de les regles de càlcul de funcions derivades[modifica]

Funció

Derivada de la funció

Derivades de funcions elementals[modifica]

Derivada de la funció constant[modifica]

Si f és una funció constant la seva imatge és la mateixa per a tots els arguments per tant:

Derivada d'una potència amb exponent enter[modifica]

En el cas que la funció f sigui una potència d'exponent enter es té:

Repassant el capítol sobre polinomis, en la secció sobre el càlcul de la potència d'un binomi s'explica el binomi de Newton que permet calcular:

Substituint i operant resulta:


Derivada de la funció logaritme[modifica]

En cas que la funció f sigui un logaritme de base a es té:

Aplicant les propietats que s'han trobat en la secció sobre logaritmes de primer capíto d'aquest llibre i operant resulta:



Multiplicant per x/x (que val 1) i operant resulta:

Fixeu-vos que x és sempre un nombre finit i un infinitèsim per tant x/ és un nombre infinit K per tant es pot escriure:

Però a partir del que s'ha trobat a la secció sobre logaritmes del capítol primer es veu que si K és infinit:

Per tant:

En el cas particular en que a = e es té:

Derivada de la funció exponencial[modifica]

Com que la funció exponencial és la inversa de la funció logaritme, aplicant la regla de la derivada de la funció inversa s'obté:

En el cas particular en que a = e es té:

Derivada d'una potència amb exponent real[modifica]

Abans s'ha calculat la derivada de una funció potencial quant l'exponent és un nombre enter més gran que 1. El cáclul s'ha fet en base al binomi de Newton i per tant la fórmula que s'ha trobat no es pot aplicar a exponents negatius o fraccionaris o reals en general. En cas que l'exponent sigui un nombre real qualsevol diferent de zero, per trobar la derivada, primer es transforma la funció de la següent manera:

Llavors aplicant la regla de la derivada d'una funció composta d'altres dues s té:

Com que els nombres naturals més grans que 1 també són nombres reals, la fómmula que s'obté aquí també es pot aplicar, de fet és la mateixa. Pel cas particular en que r = 1/2 es té:

O pel cas particular on r és un nombre racional qualsevol r = a / b:

O si x està elevat a un exponent negatiu:

Derivada de les funcions trigonomètriques[modifica]

Derivada de les funcions inverses de les funcions trigonomètriques[modifica]

Taula resum de les derivades de les funcions elementals[modifica]

Equació de la recta tangent a una corba en un punt.[modifica]

Creixement i decreixement.[modifica]

Màxims i mínims.[modifica]

Gràfiques de funcions senzilles.[modifica]

Aplicació del càlcul de derivades de funcions polinòmiques a problemes d'optimació.[modifica]