Matemàtiques (nivell ESO)/Terme general d'una progressió aritmètica

De Viquillibres

Terme general d'una progressió aritmètica

Calcular la diferència i el primer terme →

[edita] Fórmula

La fórmula per calcular el terme general d'una progressió aritmètica és:

 =  + ·( - 1)

En què $\begin{matrix}a_1\end{matrix}$ és el primer terme de la progressió i $\begin{matrix}d\end{matrix}$ , la diferència.

Exemple:

Quin és el terme general d'aquesta progressió geomètrica si $\begin{matrix}d\end{matrix}$ = 4 ?

4, 8, 12, 16, 20, 24 ...

$\begin{matrix}a_1\end{matrix}$ = 4

$\begin{matrix}a_n\end{matrix}$ = $\begin{matrix}a_1\end{matrix}$ + $\begin{matrix}d\end{matrix}$ ·( $\begin{matrix}n\end{matrix}$ - 1)

$\begin{matrix}a_n\end{matrix}$ = 4 + 4 · (n - 1) = 4 + (4 · n) - 4

$\begin{matrix}a_n\end{matrix}$ = 4 + (4 · n) - 4

Com calculem ara $\begin{matrix}a_{13}\end{matrix}$ si tenim el terme general que és 4 + (4 · n) - 4 ?

$\begin{matrix}a_{13}\end{matrix}$ = 4 + (4 · 13) - 4 = 52

$\begin{matrix}a_{13}\end{matrix}$ = 52

[edita] Demostració

Considerem una progressió aritmètica $a 1, a 2, a 3, a 4 ...$ , de manera que la diferència sigui $d$ . Anem a demostrar que el terme general és $a n = a 1 + (n - 1) d$

Ho raonarem de manera inductiva a partir de $a 2$ , després $a 3$ i així successivament.

Aprofitant que existeix una diferència $d$ entre termes...

El terme 2 es pot calcular com:

$a 2 = a 1 + d$
El terme 3 es pot calcular com:

$a 3 = a 2 + d$

però substituint:

$a 3 = a 1 + d + d = a 1 + 2 d$
El terme 4 es pot calcular com:

$a 4 = a 3 + d = a 1 + 2 d + d = a 1 + 3 d$

Seguint així arribaríem a veure que

a n = a n - 1 + d = a 1 + (n - 1) d

Això demostra el que volíem.

Matemàtiques (nivell ESO)/Terme general d'una progressió aritmètica

De Viquillibres

[edita] Fórmula

[edita] Demostració

Vistes

Eines de l'usuari

Navegació

Cerca

Comunitat

Imprimeix/exporta

Eines