Matemàtiques (nivell ESO)/Calcular la diferència i el primer terme

De Viquillibres

Dreceres ràpides: navegació, cerca
← Terme general d'una progressió aritmètica Calcular la diferència i el primer terme Suma dels n primers termes d'una progressió aritmètica →


[edita] Com calcular la diferència

La diferència d'una progressió aritmètica es calcula així:

\begin{matrix}d\end{matrix} = \begin{matrix}a_2\end{matrix} - \begin{matrix}a_1\end{matrix}

EXPLICACIÓ: Això és el mateix que \begin{matrix}a_4\end{matrix} - \begin{matrix}a_3\end{matrix} o \begin{matrix}a_{25}\end{matrix} - \begin{matrix}a_{24}\end{matrix}. Sempre es calcula restant el terme posterior menys l'anterior.


[edita] Calcular la diferència si no tenim 2 termes seguits

Si es donés el cas que no disposem de 2 termes seguits o contigus, com per exemple \begin{matrix}a_5\end{matrix} i \begin{matrix}a_2\end{matrix}, podem calcular la \begin{matrix}d\end{matrix} amb aquest mètode:

d = \frac{a_5 - a_2}{3}

EXPLICACIÓ: Aquesta fórmula s'explica que com a numerador es resta el nombre major menys el menor, i al denominador es col·loca la diferència entre les \begin{matrix}n\end{matrix} (5 - 2 = 3).


[edita] Com calcular el primer terme

Per tal de calcular el primer terme, necessitarem disposar de la diferència (\begin{matrix}d\end{matrix}) prèviament calculada, ja que hem de transforar la fórmula del terme general en una equació.

\begin{matrix}a_1\end{matrix} = \begin{matrix}a_n\end{matrix} - \begin{matrix}d\end{matrix}·(\begin{matrix}n\end{matrix} - 1)


  • Exemple:

Si sabem que en una progressió aritmètica \begin{matrix}a_9\end{matrix} = 32 i \begin{matrix}a_5\end{matrix} = 12, calcula \begin{matrix}a_1\end{matrix} i \begin{matrix}a_n\end{matrix}

· Primer de tot, per calcular \begin{matrix}a_1\end{matrix}, necessitem saber quin és el valor de la diferència (\begin{matrix}d\end{matrix}). Per calcular-la, utilitzarem la fórmula corresponent:

d = \frac{a_9 - a_5}{4} = \frac{32 - 12}{4} = 5

· Un cop sabem que \begin{matrix}d\end{matrix} = 5, podem calcular \begin{matrix}a_1\end{matrix}:

\begin{matrix}a_1\end{matrix} = \begin{matrix}a_n\end{matrix} - \begin{matrix}d\end{matrix}·(\begin{matrix}n\end{matrix} - 1) = \begin{matrix}a_9\end{matrix} - 5 · (9 - 1) = 32 - 40 = -8

\begin{matrix}a_1\end{matrix} = - 8

· Ara que ja tenim \begin{matrix}a_1\end{matrix} i \begin{matrix}d\end{matrix}, podem calcular definitivament el terme general:

\begin{matrix}a_n\end{matrix} = - 8 + 5 · (\begin{matrix}n\end{matrix} - 1) = -8 + 5·\begin{matrix}n\end{matrix} -5

\begin{matrix}a_n\end{matrix} = - 8 + (5 · \begin{matrix}n\end{matrix}) - 5

Obtingut de «http://ca.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A0tiques_(nivell_ESO)/Calcular_la_difer%C3%A8ncia_i_el_primer_terme»