Matemàtiques (nivell ESO)/Progressions aritmètiques

De Viquillibres

Dreceres ràpides: navegació, cerca
← Progressions aritmètiques Terme general d'una progressió aritmètica →


[edita] Definició

Una progressió aritmètica és una successió en què obtenim cada terme (excepte el primer) a partir de l'anterior més un nombre fix, anomenat \begin{matrix}d\end{matrix}, que representa la diferència de la progressió.

En totes les progressions aritmètiques \begin{matrix}a_2\end{matrix} - \begin{matrix}a_1\end{matrix} = \begin{matrix}a_3\end{matrix} - \begin{matrix}a_2\end{matrix} = ... = \begin{matrix}a_9\end{matrix} - \begin{matrix}a_8\end{matrix} = ... = \begin{matrix}d\end{matrix}


  • Exemple:

Aquestes successions són progressions aritmètiques?


a) 3, 6, 9, 12, 15, 18 ...

\begin{matrix}a_2\end{matrix} - \begin{matrix}a_1\end{matrix} = \begin{matrix}a_3\end{matrix} - \begin{matrix}a_2\end{matrix} = \begin{matrix}a_4\end{matrix} - \begin{matrix}a_3\end{matrix} = \begin{matrix}a_5\end{matrix} - \begin{matrix}a_4\end{matrix} = ... = \begin{matrix}d\end{matrix}

6 - 3 = 9 - 6 = 12 - 9 = 15 - 12 = ... = \begin{matrix}4\end{matrix}

· És una progressió aritmètica ja que compleix les igualtats, i \begin{matrix}d\end{matrix} = 4.


b) 6, 12, 18, 24, 29 ...

\begin{matrix}a_2\end{matrix} - \begin{matrix}a_1\end{matrix} = \begin{matrix}a_3\end{matrix} - \begin{matrix}a_2\end{matrix} = \begin{matrix}a_4\end{matrix} - \begin{matrix}a_3\end{matrix} = \begin{matrix}a_5\end{matrix} - \begin{matrix}a_4\end{matrix} = ... = \begin{matrix}d\end{matrix}

12 - 6 = 18 - 12 = 24 - 12 ~~ 29 - 24 = ... = X

· No és una progressió aritmètica.

[edita] Terme general

El terme general està explicant suposant que el terme inicial ocupa el lloc 1. La fórmula és

a + (n − 1)d    n = 1, 2, 3...

[edita] Propietats

  • És evident que la diferència d'una progressió aritmètica és un número constant.
  • La distància entre dos termes és igual a la diferència multiplicada per la diferència entre les posicions dels dos termes.
  • Les progressions aritmètiques són creixents si la diferència és positiva; decreixents, si la diferència és negativa; i constants, si la diferència és nul·la.
  • Com a conseqüència de la propietat anterior, les progressions aritmètiques tenen sempre la mateixa monotonia, és a dir, no fluctuen ni tenen cicles, ja que només poden ser o bé creixents, o bé decreixents o bé constants.
Obtingut de «http://ca.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A0tiques_(nivell_ESO)/Progressions_aritm%C3%A8tiques»