Matemàtiques (nivell ESO)/Terme general d'una progressió geomètrica

Salta a la navegació Salta a la cerca

Progressions geomètriques. És una successió on cada terme, excepte el primer, s’obté multiplicant a l’anterior un nombre constant anomenat raó ( r ) an = an-1 · r Ex: a = { 5, 5, 5 5, 25 ,... } és una progressió geomètrica? a1 = 5 a2 = 5 = 5· 5 = a1 · 5 a3 = 5· 5 =5 · 5 = a2 · 5 a4 = 25 =5· 5 · 5 = a3 · 5 Si, amb r = 5 • El terme general és an = a1 · r n - 1 Ex: Calculeu el terme general de la progressió geomètrica a = { 3, - 6, 12, -24, ... } 2 3 6 · 1 2 2 1 = ® = = - = - a a a a r r an = a1 · r n – 1 an = 3 · ( - 2 ) n – 1 • La suma dels n primers termes d’una progressió geomètrica és 1 1 1 - = - r r S a n n Demostració: En una progressió geomètrica de n termes observem que a2 = a1 · r a3 = a2 · r a4 = a3 · r De manera que r · Sn = + a1 · r + a2 · r + ... + an-1 · r + an · r - Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an ______________________________________________________ Sn ( r – 1 ) = - a1 + 0 + 0 + ... + 0 + an · r Sn ( r – 1 ) = - a1 + an · r Sn ( r – 1 ) = - a1 +( a1 · r n – 1) · r 1 1 1 - = - r r S a n n Ex: En una progressió geomètrica en què r = 2 1 i an = 3 1 , calculeu S20. 0,667 1 2 1 1 2 1 · 3 1 20 20 = - -      S = • El producte dels n primers termes d’una progressió geomètrica és n n n P (a ·a ) 1 = ± Ex: Calculeu el producte dels cinc primers termes de la progressió geomètrica 3, 6, 12, ... 5 5 1 5 P = ± (a ·a ) a5 = a1 · 2 5 – 1 = 3 · 24 = 48 (3·48)5 248.832 5 P = ± = • Interpolar medis geomètrics o proporcionals entre dos nombres consisteix en construir una progressió geomètrica que tingui per extrems dos nombres determinats. Donats els extrems a i b, i el nombre de medis a interpolar m, la raó r s’obté: = m+1 a b r Ex: Interpolar tres medis geomètrics entre 3 i 48. La progressió geomètrica serà: 3, 6, 12, 24 i 48.