Matemàtiques (nivell ESO)/Proporcionalitat composta

Introducció

En ocasions el problema plantejat involucra tres o més magnituds, totes elles mesurables. Totes són conegudes excepte una. Observem el següent exemple.

Exemple

Dos paletes construïxen un mur de dotze metres quadrats de superfície en tres hores. Quina superfície construiran cinc paletes en quatre hores?

Tenim almenys dues maneres de resoldre'l.

Primera manera

Hi ha dos paràmetres que influïxen en la superfície construïda: el nombre de paletes i el temps de treball. Una manera de resoldre'l és pensar quina superfície podria construir un sol paleta amb una sola hora de treball. Està clar que farà una sisena part menys i per tant només construirà un mur de 2 metres quadrats en aquestes condicions. A continuació, com que no serà un sol paleta sinó que n'hi haurà 5 i a més no serà 1 hora sinó que en seran 4, basta multiplicar el resultat per 20, de manera que en les noves condicions els cinc paletes construiran un mur de 40 metres quadrats de superfície.

Segona manera

No cal resistir a la temptació d'aplicar dues vegades la proporcionalitat, però això sí, explicitant les hipòtesis subjacents.

Afirmar que el treball realitzat és proporcional al nombre de paletes equival a dir que tots els obrers tenen la mateixa eficàcia al treball (són intercanviables); i afirmar que la superfície és proporcional al temps de treball suposa que el rendiment no canvia amb el temps: els paletes no es cansen.

Proporcionalitat multiple

Admetent aquestes dues hipòtesis, es pot contestar a la pregunta passant per una etapa intermèdia: Quina superfície construirien dos paletes en quatre hores?

El paràmetre "nombre de paletes" té un valor fix, després s'aplica la proporcionalitat amb el temps (subtaula vermella). La superfície construïda serà multiplicada per $4 \over 3$.

Després, fixant el paràmetre temps a quatre hores, i variant el del nombre d'obrers de 2 a 5, la superfície serà multiplicada per $5 \over 2$ (la subtaula blava és proporcional).

El resultat final és

$12\times {\frac {4}{3}}\times {\frac {5}{2}}=40$

metres cuadrats.

La proporcionalitat múltiple es resol així, multiplicant pels coeficients corresponents a cada factor:

Cas general de proporcionalitat múltiple

Exemple

• Problema a resoldre: Si 12 treballadors construint un mur de 100 metres en 15 hores, quants treballadors es necessitaran per aixecar un mur de 75 metres a 26 hores ?

En el problema plantejat apareixen dues relacions de proporcionalitat al mateix temps. A més, per completar l'exemple, s'ha inclòs una relació inversa i una altra directa. En efecte, si un mur de 100 metres ho construeixen 12 treballadors, és evident que per construir un mur de 75 metres es necessitaran menys treballadors. Com més petit és el mur, menys nombre d'obrers precisem: es tracta d'una relació de proporcionalitat directa. D'altra banda, si disposem de 15 hores perquè treballin 12 obrers, és evident de disposant de 26 hores necessitarem menys obrers. En augmentar una quantitat, disminueix l'altra: es tracta d'una relació de proporcionalitat inversa.

El problema s'enunciaria així:

• 100 metres són a 15 hores i 12 treballadors com 75 metres són a 26 hores i Y treballadors.

La solució al problema és multiplicar 12 per 75 i per 15, i el resultat de dividir entre el producte de 100 per 26. Per tant, 13500 entre 2600 resulta 5,19 (el que per arrodoniment resulten ser 5 treballadors).

Formalment el problema es planteja així:

${\begin{matrix}A&\longrightarrow &B\longrightarrow &C\\X&\longrightarrow &Z\longrightarrow &Y\end{matrix}}$

• La resolució implica plantejar cada regla de tres simple per separat. D'una banda, la primera:

${\begin{matrix}A&\longrightarrow &C\\X&\longrightarrow &Y\end{matrix}}$ ...que, recordem, és directa, i es resol així: ${\frac {X\cdot C}{A}}$

• A continuació plantegem la segona:

${\begin{matrix}B&\longrightarrow &C\\Z&\longrightarrow &Y\end{matrix}}$ ...que, recordem, és inversa, i es resol així: ${\frac {B\cdot C}{Z}}$

• A continuació unim ambdues operacions en una sola, tenint cura de no repetir cap terme (és a dir, afegint el terme C una sola vegada):

${\frac {X\cdot B\cdot C}{A\cdot Z}}$

el que ens dóna la solució buscada.

El problema es pot plantejar amb tots els termes que es vulgui, siguin totes les relacions directes, totes inverses o barrejades, com en el cas anterior. Cada regla hauria de plantejar-se amb molta cura, tenint en compte si és inversa o directa, i tenint en compte (això és molt important) no repetir cap terme a l'unir cada una de les relacions simples.