Matemàtiques (nivell ESO)/Jerarquia de les operacions

La jerarquia de les operacions és una llista de regles que defineixen quines operacions (o procediments) s'han de realitzar en primer lloc a fi de calcular el resultat d'una expressió matemàtica donada. L'objectiu és evitar que els resultats puguin dependre de l'ordre amb què efectuem les operacions.

Per què una jerarquia?

Les expressions numèriques que inclouen més d'una operació, com per exemple $2+3*7$, presenten la qüestió de veure quina operació s'ha de realitzar en primer lloc i quines s'han de realitzar després. És a dir, ens demanam quina d'aquestes alternatives seguirem:

1. En primer lloc la suma $2+3$ i després amb el resultat obtengut calcularem la multiplicació
2. O bé farem en primer lloc la multiplicació $3*7$ i després amb el resultat obtengut, la suma.

Per mostrar la diferència entre les dues alternatives i que realment no arriben al mateix resultat, vegem com es realitzarien els càlculs pas a pas.

Cas multiplicació preferent. En el cas que la primera operació que calculem sigui la multiplicació (i per tant després calculem la suma), la cadena de resultats serà la següent. Com que $3*7=21$ substituirem la multiplicació pel valor de $21$. Així, en lloc de $2+3*7$ tendrem $2+21$. Ja només falta calcular aquesta suma. Simple! Dóna $23$ com a resultat final. S'escriu a continuació la seqüència completa d'operacions de manera matemàtica:

$$2+3*7=$$

$$=2+21=$$

$$=23$$

Cas suma preferent. En l'altre cas, suposem que primer realitzàssim la suma i després la multiplicació. Aleshores la cadena de resultats seria la següent. Com que hem dit que començaríem fent la suma, el que calcularíem seria $2+3=5$. Per tant, l'expressió $2+3*7$ es convertiria només en $5*7$. Això donaria un resultat de $35$. S'escriu tot seguit la seqüència completa d'operacions de manera matemàtica:

$$2+3*7=$$

$$=5*7=$$

$$=35$$

Conclusió. El que arribam a veure és que els resultats són diferents, segons sigui l'operació que volguem calcular en primer lloc. Per tant, sorgeix la necessitat d'establir un ordre en què facem els càlculs, de manera que hi hagi unes operacions que s'hagin de calcular en primer lloc i unes altres que s'hagin de deixar per a una segona fase, perquè així els resultats no depenguin de com volguem operar. És a dir, cal una jerarquia de les operacions.

Ordre de les operacions

Ordre	Operacions	Observacions
1	Parèntesis ( )	Els parèntesis permeten canviar l'ordre en què operem una expressió numèrica perquè són preferents. Si hi ha diversos parèntesis, cal començar pels més interiors. En lloc de parèntesis, també es poden emprar claudàtors o claus.
2	Potències, arrels i funcions	En alguns casos es poden aplicar les propietats de les potències o de les arrels.
3	Multiplicacions i divisions * :	Si estan totes elles encadenades, s'han de calcular d'esquerra a dreta.
4	Sumes i restes	Si estan totes elles encadenades, també es calculen d'esquerra a dreta. Una altra possibilitat podria ser fer la suma tots els nombres positius, fer la suma de tots els nombres negatius i després calcular la diferència entre aquests dos resultats.

Exemples:

$2+3^{2}-5\cdot 2=2+9-10=1$

$2+(3^{2}-5)\cdot 2=2+(9-5)\cdot 2=2+4\cdot 2=2+8=10$

$2\cdot (2+(3^{2}-5)\cdot 2)=2\cdot (2+4\cdot 2)=2\cdot (2+8)=2\cdot 10=20$