Matemàtiques (nivell ESO)/Expressions algebraiques

Una expressió algebraica és un conjunt de lletres i nombres relacionats per signes d'operacions aritmètiques. Per exemple $x^{2} + 3 y - x z$ . O també: 'expressió 8 · y + 2 ens indica que s'ha de multiplicar per 8 el valor desconegut de y i sumar 2 al resultat.

Alguns usos

Les expressions algebraiques apareixen a:

Les equacions, com ara $x + 25 = 0$ , a la qual $x$ és una incògnita que cal esbrinar.
El terme general de les successions. Per exemple, la successió de números imparells 1,3,5,7,9,11,13.. la podem indicar, generalment, amb 2n-1.
Conjunts de nombres que compleixen una propietat determinada.
Relacions numèriques en general. Per exemple, l'expressió $(a + b)^{2}$ , que indica el quadrat de la suma de dos nombres qualssevol.

Operacions

Suma

Per efectuar una suma de monomis, han de ser semblats. A l'hora de fer la suma, extraiem factor comú a la part literal.

Exemples: $3 x^{5} + 9 x^{5}$ =(3+9) $x^{5}$ = $12 x^{5}$

$4 x^{2} y - 6 x^{2} y - x^{2} y$ =(4-6-1) $x^{2} y$ = $- 3 x^{2} y$

$2 x^{5} + 6 x^{3}$ no es pot efectuar.

Quan sumem monomis, en sumem o restem els coericients i deixem igual la part literal. La suma de polinomis consisteix a agrupar i redui els termes semblants de tots els sumands.

Exemple: $(5 x^{4} + 3 x^{2} - 7 x + 6)$ + $(x^{4} - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 4 x + 1)$ $5 x^{4} + x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 8 x^{2} - 7 x - 4 x + 6 + 1$ = $6 x^{4} - 2 x^{3} + 11 x^{2} - 11 x + 7$

També podem disposar la suma de polinomis d'aquesta manera:

$5 x^{4} + 0 + 3 x^{2} - 7 x + 6$

$+ x^{4} - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 4 x + 1$

__________________________

$6 x^{4} - 2 X^{3} + 11 x^{2} - 11 x + 7$

La suma de polinomis commutativa i associativa. L'element que no altera la suma és el polinomi 0, els termes del qual són tots iguals a 0.

Resta

Per restar dos polinomis, primer es sumen el primer amb l'oposat del segon. És a dir, canviam el segon de signe. Exemple: $(5 x^{4} + 3 x^{2} - 7 x + 6) - (x^{4} - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 4 x + 1)$ = $(5 x^{4} + 3 x^{2} - 7 x + 6) + (- x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{2} + 4 x - 1)$ = $4 x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x + 5$

Producte

Per efectuar el producte de dos monomis, es multipliquen:

D'una banda els coeficients, respectant les relges dels signes.
D'una altra, les perts literals, aplicant les propietats de les potències.

El grau del producte és igual a la suma dels graus dels factors.

Exemples: $2 x^{5}$ · $7 x^{4}$ = ( 2 · 7) ( $x^{5}$ $x^{4}$ ) = $14 x^{5} + 4$ = $14 x^{9}$

Per multiplicar un monomi per un polinomi, apliquem la propietat distributiva, multiplicant cada terme d'un per tots els termes de l'altre.

Exemple: $4 x^{2}$ ·( $7 x^{2}$ + 5x - 2)= $4 x^{2}$ · $7 x^{2} + 4 x^{2}$ · 5x - $4 x^{2}$ · 2 = $20 x^{4} + 20 x^{3} - 8 x^{2}$

Producte de dos polinomis

per efectuar el producte de dos polinomis, apliquem la propietat distributiva, multiplicant cada terme d'un per tots els termes de l'altre. Si apareixen termes semblants, es sumen.

Exemple: ( $8 x^{2}$ + 5) · ( $2 x^{2}$ - 3) = $8 x^{2}$ · $2 x^{2} - 8 x^{2}$ · 3 + 5 · $2 x^{2}$ - 5· 3 = $15 x^{4} - 24 x^{2} + 10 x^{2} - 15$ = $16 x^{4} - 14 x^{2}$ - 15