Matemàtiques (nivell ESO)/Equacions de segon grau/Un examen resolt

Salta a la navegació Salta a la cerca

Pregunta 1[modifica]

1. Resol les equacions de segon grau següents:

Resolem la primera equació passa per passa:

  • Passam abans tots els termes a un costat:
  • Intentam aplicar la fórmula de l'equació de segon grau:
  • Per això identificam les lletres , i
  • Substituim a la fórmula anterior i operam:
  • Distigim les dues solucions:
i

Resolem la segona equació passa per passa:

  • Passam abans tots els termes a un costat:
  • Intentam aplicar la fórmula de l'equació de segon grau:
  • Per això identificam les lletres , i
  • Substituim a la fórmula anterior i operam:
  • Com que el discriminant és negatiu (-3), l'equació de segon grau és incompatible.

Resolem la tercera equació passa per passa:

  • Tots els termes ja estan al mateix costat.
  • Intentam aplicar la fórmula de l'equació de segon grau:
  • Per això identificam les lletres , i
  • Substituim a la fórmula anterior i operam:
  • Distigim les dues solucions:
i

Resolem la quarta equació passa per passa:

  • Tots els termes ja estan al mateix costat
  • Intentam aplicar la fórmula de l'equació de segon grau:
  • Per això identificam les lletres , i
  • Substituim a la fórmula anterior i operam:
  • Distigim les dues solucions:
i

Pregunta 3[modifica]

3. Un terreny rectangular de 30 x 40 metres és travessat per un camí recte que és el més llarg possible. Quina distància té aquest camí?

Resolem el problema passa a passa:

  • El terreny correspon a una figura geomètrica d'un rectangle.
  • El camí que ens demanen és la diagonal d'aquest rectangle.
  • La diagonal divideix el terreny en dos triangles rectangles.
  • La hipotenusa mesura el mateix que la diagonal.
  • El triangle rectangle té com a catets 30 i 40.
  • Diguem a la hipotenusa, que serà també la diagonal.
  • Aplicam la fórmula del teorema de Pitàgores:
  • Substituim pels valors concrets i obtenim:
  • Operam i aïllam la incògnita:
  • Descartam el valor negatiu perquè es tracta d'una longitud (positiva).
  • Per tant, la hipotenusa fa 50 metres. I també el camí que ens demanen.

Pregunta 4[modifica]

4. Calcula dos nombres sabent que es diferencien en 10 unitats i el seu producte és 144.

Resolem el problema passa a passa:

  • Fem el plantejament en termes d'equacions. Com que han de ser dos nombres diferents en 10 unitats, un d'ells serà i l'altre serà
  • L'enunciat diu que el seu producte és 144 i per tant obtenim l'equació
  • Operam fent servir la propietat distributiva:
  • Passam tots els termes a un costat:
  • Aprofitam la fórmula de l'equació de segon grau.
  • Identificam les lletres , i
  • Substituim i operam:
  • Distingim les dues solucions: i
  • Per a cada una de les solucions, hem de trobar el segon nombre.
  • Per al valor obtenim
  • Per al valor obtenim
  • En conclusió veiem que les solucions són
    • i
    • i

Pregunta 5[modifica]

5. Calcula els costats d'un triangle rectangle si sabem que compleix aquestes dues coses:

  1. La hipotenusa mesura 10 unitats més que el catet menor.
  2. El catet major mesura 5 unitats més que el catet menor.

Resolem el problema passa per passa:

  • Els costats d'un triangle rectangle es calculen amb el teorema de Pitàgores.
  • Diguem al catet menor.
  • Aleshores:
  • Desenvolupam la igualtat emprant una de les identitats notables:
  • El resultat queda:
  • Simplificam i passam tots els termes a un costat:
  • Aplicam la fórmula de l'equació de segon grau:
  • Posam valors a les lletres: , i
  • Com a solució, obtenim i però descartam la negativa perquè es tracta de longituds (positives).
  • En conclusió, els costats d'aquest triangle mesuren 15, 20 i 25.

Pregunta 6[modifica]

6. Contesta les preguntes teòriques següents:

  1. Defineix què és el discriminant d'una equació de segon grau.
  2. Escriu una equació de segon grau que sigui incompatible i diferent de les del primer exercici.

El discriminant és l'expressió algebraica que apareix sota el signe de l'arrel dins la fórmula que resol l'equació de segon grau i serveix per determinar el nombre de solucions d'una equació de segon grau. Concretament, si l'equació de segon grau té la forma

aleshores el discriminant és

Ara si el discriminant és estrictament positiu, l'equació de segon grau tendrà 2 solucions. Si és estrictament negatiu, no tendrà cap solució. I si és igual a zero, només tendrà una solució.

Com a exemples d'equacions de segon grau inconmpatibles, podem escriure qualsevol que tengui discriminant negatiu. Per exemple: