Vés al contingut

Matemàtiques (Prova d'accés a cicles formatius de grau superior)/Polinomis

Es pot definir polinomi d'una variable o polinomi amb una indeterminada com una llista finita d'elements d'un conjunt que té definides les operacions de sumar i multiplicar amb unes propietats com les de la suma i la multiplicació en els nombres naturals amb la condició de que l'últim element de la llista sigui diferent de zero. Així, la llista:

és un polinomi. Els nombres ai es diuen coeficients. Depenent del conjunt a que pertanyin els coeficient es diu que el polinomi és amb coeficients en el conjunt en qüestió. Per exemple polinomi amb coeficients naturals, enters, racionals, reals,...

El nombre n es diu el grau del polinomi, com que al primer coeficient li correspon el zero el grau és el nombre de coeficients menys 1. Del coeficient ai se'n diu el coeficient de grau i. Per això es pot dir que el grau del polinomi és el grau del coeficient de grau més gran.


Expressions polinòmiques amb una indeterminada.[modifica]

Una forma de representar els polinomis és presentar-los com una suma de termes, cada terme es construeix multiplicant el coeficient ai per una indeterminada (anomenada també variable) elevada a la potència i (que normalment es designa amb la lletra x però que es pot designar amb qualsevol altre). El coeficient a0 es pot multiplicar per la indeterminada elevada a zero o per 1 i no escriure la indeterminada. Així s'identifica el polinomi:

En aquesta representació si un coeficient és igual a zero el terme corresponent s'omet. Les dues representacions són equivalents, la primera té l'avantatge de que fa èmfasis en el polinomi com un objecte abstracte mentre que la segona permet un enfocament més pedagògic lligant els polinomis amb el seu desenvolupament històric i amb les funcions polinòmiques que s'estudiaran més endavant.

Cada un dels termes s'anomena monomi, si un polinomi només té un terme, també s'anomena monomi. El polinomis que tenen dos termes s'anomenen binomis i els de tres trinomis.

El monomi de coeficient a0 s'anomena terme independent. El coeficient an s'anomena coeficient principal. Per definició el coeficient principal d'un polinomi no pot valer 0. Si el coeficient principal d'un polinomi val 1 es diu que el polinomi és un polinomi mònic o un polinomi normalitzat.

Fixeu-vos que els elements del conjunt al qual pertanyen els coeficients es pot considerar format per polinomis de grau zero.

De vegades si el polinomi no té cap terme amb coeficient zero es diu que és complet i si en té algun es diu que és incomplet.

Valor numèric.[modifica]

Si la indeterminada s'interpreta com un element qualsevol del conjunt al que pertanyen els coeficients (per exemple el conjunt dels nombres reals), llavors el polinomi es pot entendre com una fórmula que permet calcular per a cada element d'aquest conjunt un altre element del mateix conjunt anomenat valor numèric del polinomi.

Per calcular el valor numèric d'un polinomi P(x) en un punt x0 es pot substituir la indeterminada x pel valor x0 i calcular la fórmula que resulta:

Però això no es fa mai així perquè requereix un nombre molt gran de multiplicacions. Fixeu-vos que calen 1+2+...+n multiplicacions. En canvi la fórmula:

només necessita n multiplicacions. Totes dues són equivalents com es pot veure aplicant la propietat distributiva n vegades.

Per exemple, calcular el valor numèric del polinomi 3+2x2-4x3+x4 al punt x0 = 3.

Es pot fer emprant:

O bé:

Amb el primer mètode han calgut 8 multiplicacions (i encara se'n han estalviat 3 perquè el polinomi és mònic i el terme de segon grau és zero). Amb el segon mètode amb 3 multiplicacions n'hi ha hagut prou (se'n ha estalviat una perquè és mònic). Fixeu-vos que amb el segon mètode cal parar atenció de no descuidar-se dels coeficients que són zero. En aplicacions de càclcul per ordinador on cal calcular polinomis de grau molt gran el primer mètode és clarament ineficient i els programes informàtics implementen el segon.

Fixeu-vos que el polinomi també es pot interpretar com una relació que lliga cada element del conjunt amb un altre element del mateix conjunt, el valor numèric del polinomi en l'element.

Operacions amb polinomis.[modifica]

A partir de les operacions del conjunt al que pertanyen els coeficients es poden definir les operacions de sumar, restar multiplicar i dividir polinomis.

Suma de polinomis[modifica]

El polinomi suma de altres dos s'obté sumant els coeficients dels mateix grau, és a dir, si

i

llavors

Si no són del mateix grau, s'estén el de grau més petit amb coeficients igual a zero.

Exemple: Sumar amb :

3 -5,0x +0,5x2
   0,5x -3,0x2 +x3
--------------------
3 -4,5x -2,5x2 +x3

Fixeu-vos que per a qualsevol x el resultat de sumar els valor numèric de dos polinomis al punt x és igual al valor numèric del polinomi suma al punt x.

Resta de polinomis[modifica]

El 0 és el polinomi nul o l'element neutre de la suma, perquè tal com s'ha definit la suma qualsevol polinomi sumat amb zero sóna el mateix polinomi.

El polinomi oposat d'un polinomi P(x) donat és un altre polinomi -P(x) tal que sumat amb ell dóna el polinomi nul. Per obtenir el polinomi oposat només cal canviar el signe de cada coeficient, així en sumar-los tots, els coeficients donaran tots zero i per tant s'obtindrà el polinomi nul.

Restar d'un polinomi P(x) un altre polinomi Q(x) és trobar un polinomi R(x) tal que sumat a Q(x) doni P(x). Fixeu-vos que sumant a P(x) l'oposat de Q(x) s'obté R(x).

Exemple, per estar els polinomis anteriors:

3 -5,0x +0,5x2
  -0,5x +3,0x2 -x3
--------------------
3 -5,5x +3,5x2 -x3

Fàcilment es pot comprovar que sumant-li Q(x) al resultat s'obté altre cop P(x):

3 -5,5x +3,5x2 -x3
  +0,5x -3,0x2 +x3
--------------------
3 -5,0x +0,5x2


Fixeu-vos que per a qualsevol x el resultat de restar els valor numèric de dos polinomis al punt x és igual al valor numèric del polinomi resta al punt x.

Multiplicació de polinomis[modifica]

El producte de dos polinomis P(x) per Q(x) es defineix com aquell polinomi R(x) tal que el coeficient de grau i del polinomi resultat s'obté sumant tots els productes d'un coeficient de P(x) per un coeficient de Q(x) tals que la suma dels seus graus doni i. Fixeu-vos que aquesta és la definició que s'espera si es representa el polinomi com a suma de monomis i es conserven les propietats associativa, commutativa i distributiva, per exemple, en multiplicar:

S'obté:



Això es pot facilitar si es fa la operació emprant un arranjament dels monomis de forma similar al producte de nombres expressats en base 10:

3  +2x
 x +5x2
-------
3x +2x2
   15x2 +10x3
-----------
3x+17x2 +10x3

L'arranjament encara s'assembla més a la multiplicació de nombres en base 10 si els monomis s'escriuen en ordre decreixent de grau:

Altre cop per a qualsevol x el resultat de multiplicar els valors numèrics de dos polinomis al punt x és igual al valor numèric del polinomi producte al punt x.

Divisió de polinomis[modifica]

Igual que passa amb els nombres naturals, donats dos polinomis P(x) i Q(x) no sempre és possible trobar el resultat de la operació inversa de la multiplicació. És a dir no sempre és possibile fer la divisió exacta i trobar un polinomi S(x) tal que S(xQ(x) = P(x). Però sempre es pot fer el que s'anomena divisió euclidiana és a dir trobar dos polinomis S(x) i R(x) tals que S(xQ(x) + R(x) = P(x) i a demés que R(x) tingui un grau més petit que Q(x).

La millor manera d'explicar-ho és amb un exemple:

 15x3+18x2+4x+2 |5x2+x
                --------------
-15x3- 3x2       3x+3
----------
      15x2+4x+2
     -15x2-3x
     -----------
            x+2

Per tant (15x3+18x2+4x+2) = (5x2+x) · (3x+3) + (x+2)

Potència d'un binomi[modifica]

La potenciació d'un polinomi si l'exponent és un nombre enter es defineix com un producte repetit del polinomi per si mateix.

Hi ha un cas particular que té interès en moltes aplicacions. Es tracta de la potència d'un binomi (a+b) a un exponent enter n:

Fixeu-vos que en desenvolupar el producte apareixen 2*2*2...*2 = 2n termes (el primer binomi genera la suma de dos productes, el segon per cada un dels dos productes anteriors en genera dos i així successivament). després al agrupar-los cal contar quants d'aquest productes corresponen a cada un dels termes aibj per determinar el coeficient ci. En el cas del primer coeficient només hi ha una combinació que doni an (la que surt d'agafar tots els termes a de cada binomi, per tant cn val 1. En el cas de an-1b1 n'hi ha n, perquè hi ha n maneres d'agafar un terme b (un per cada binomi) i tots els altres termes a, per tant el coeficient cn-1 val n. En general pel terme de aibj el coeficient és el nombre de combinacions que hi ha per obtenir j termes b i la resta fins a n termes a de la llista de binomis. Aquest nombre de combinacions s'expressa amb la notació matemàtica , si s'estableix la convenció de que llavors el resultat anterior es pot escriure:

Aquesta expressió es diu binomi de Newton. Per exemple, pels casos de n = 2 i n = 3 dóna:

Algorisme de Ruffini. Teorema del residu.[modifica]

El mètode de Ruffini anomenat també la regla de Ruffini o l'algorisme de Ruffini permet dividir un polinomi entre un binomi de la forma (sent r un número real).

Fixeu-vos que en l'algorisme de dividir polinomis explicat anteriorment si el divisor és de la forma els nombres que apareixen se simplifiqun molt, per exemple en dividir 15x3+18x2+4x+2 entre x-2 resulta:

 15x3+18x2+ 4x+  2 |x-2
                   --------------
-15x3+30x2         15x2+48x+100
----------
      48x2+ 4x+  2
     -48x2+96x
     -----------
          100x+  2
         -100x+200
         ---------
               202

Resulta que el pimer coeficient del quocient és el mateix que el del dividend. Els següents coeficients són el resltat de sumar a cada coeficient del diviend r multiplicat pel coeficient aterior del quocient. Quant ja s'ha escrit el coeficient de grau zero del quocient el que hauria de ser el següent coeficient és el residu. Això és exactament el que fa l'agorisme de Ruffini.

Per dividir un polinomi del tipus:

entre el binomi

per a obtenir el polinomi quocient

i el residu s.

1. S'agafen els coeficients de P(x) i s'escriuen ordenats. Llavors s'escriu r a la cantonada de davall a l'esquerra, tot just damunt la línia (compte que r és el coeficient de grau zero del dvisor canviat de signe:

    |        an        an-1        ...        a1         a0
    |                                    
  r |                                    
----|---------------------------------------------------------
    |                                    
    |                                    

2. Es copia el coefient de més a l'esquerra (an) a baix de tot, Tot just davall de la ratlla:

    |        an        an-1        ...        a1         a0
    |                                    
  r |                                    
----|---------------------------------------------------------
    |        an                     
    |
    |      = bn-1                                
    |

3. Dels nombres que hi ha davall de la ratlla, s'agafa el que queda més a la dreta i es multiplica per r el resultat s'escriu al damund de la ratlla una posició més a la dreta:

    |        an        an-1        ...        a1         a0
    |
  r |                  bn-1r
----|---------------------------------------------------------
    |        an
    |
    |      = bn-1                                
    |

4. Se sumen els dos valors que es troben a la mateixa columna

    |        an        an-1        ...        a1         a0
    |
  r |                  bn-1r
----|---------------------------------------------------------
    |        an     an-1+(bn-1r)
    |
    |      = bn-1     = bn-2                                
    |

5. Es repeteixen els passos 3 i 4 fins que s'acabin els nombres

    |        an        an-1        ...        a1         a0
    |
  r |                  bn-1r       ...        b1r        b0r
----|---------------------------------------------------------
    |        an     an-1+(bn-1r)   ...       a1+b1r       a0+b0r
    |
    |      = bn-1     = bn-2       ...       = b0        = s
    |

els valors b són els coeficients del polinomi resultat (R(x)) , El grau del polinomi resultat serà un menys que el de P(x). s Serà el residu.

Teorema del residu[modifica]

El teorema del residu diu que:

El valor numèric d'un polinomi en un punt t és igual al residu de dividir el polinomi entre (x - t).

Una forma de veure-ho és observant la fórmula del residu en la divisió (obtinguda per exemple pel mètode de Ruffini) el residu és a0+b0r, si se substitueix b0 pel seu valor: a1+b1r i així successivament fins a arribar a an, el que queda és axactament la fórmula de càlcul ràpid del valor numèric del polnomi que s'ha explicat en l'apartat de valor numèric del polinomi.

Un altre forma de veure-ho és fixar-se que en dividir un polinomi P(x) entre un monomi de la forma (x-t) s'obté un uocient Q(x) i un residu r que compleixen la igualtat:

D'aquí resulta que en el punt x=t:

Arrels i factorització d'un polinomi.[modifica]

Igual que en el cas dels nombres naturals que es poden descompondre en producte de nombres primers, els polinomis es poden decompondre en producte de polinomis irreductibles'. Un polinomi irreductible és aquell que no es pot descompondre en el producte de dos polinomis de grau 1 o superior. Del procés de descompondre un polinomi en producte de polinomis irreductibles se'n diu factoritació del polinomi.

En el cas dels nombres naturals la factorització és única. En el cas del polinomis en general la descomposició no és única, per exemple el polinmi: 4x2+8x+4 es pot descompondre com:

4x2+8x+4 = 4(x+1)(x+1)
4x2+8x+4 = (2x+2)(2x+2)
4x2+8x+4 = 2(2x+2)(x+1)
...

Un altre detall és que el conjunt dels polinomis irreductibles (els que no es poden descompondre) depèn del conjunt en que pugin prendre valors els coeficients. Per exemple el polinomi x2-2 no es pot descompondre (per tant és un polinomi irreductible) si els ceficients han de pertànyer al conjunt dels nombres enters, en canvi si poden prendre valors en el conjunt dels nombres reals llavors es pot descompondre:

x2-2 = (x+)(x-)

En el cas de que un polinomi admeti un factor de grau 1 del tipus (x-t) llavors, pel teorema del residu, el valor del polinomi al punt t ha de ser zero. Dels punts on el valor numèric del polinomi és zero se'n diu arels del polinomi o zeros del polinomi. Aquesta observació dóna un camí per avançar cap a la factorització d'un polinomi: buscar un punt t on el valor numèric del polinomi sigui zero (buscar una arrel del polinomi) i dividir el polinomi entre x-t, llavors es repeteix el procés amb el quocient de la divisió fins que s'arribi a un quocient que no tingui cap arrel. Queda un polinomi que no té factors pimers de grau 1 (això no vol dir que sigui primer, pot ser-ho o pot ser que es pugi descompondre en facotrs pimers de grau més gran que 1).

Cerca d'arrels enteres dels polinomis amb coeficients enters[modifica]

En el cas d'un polinomi amb coeficients enters, fixeu-vos que les arrels enteres si n'hi ha han de ser divisors del terme independent. A l'algorisme de Ruffini això es veu clarament. Perquè el residu sigui zero el terme independent ha de ser igual amb signe contrari a l'arrel multiplicada per un nombre que s'obté amb sumes i productes de nombres enters i, per tant, és igual a l'arrel multiplicada per un nombre enter.

Per tant, un mètode per trobar les arrels enteres d'un polinomi amb coeficients enters és provar tots els divisors del terme independent. Si el polinomi té alguna arrel entera segur que ha de ser un d'aquests divisors i, per tant, segur que es trobarà. Per provar si un dels divisors és una arrel es pot fer servir el mètode de Ruffini (tenint en compte el teorema del residu), d'aquesta manera pel mateix preu s'obté el quocient de la divisió del polinomi original entre el factor. Un cop trobada una arrel es pot seguir el procés amb el polinomi quocient. Això té l'avantatge de que en ser de menys grau és més fàcil de manipular, però també té l'avantatge de que si el polinomi original té el mateix factor repetit diverses vegades el polinomi quocient encara el té i torna a sortir, mentre que treballant amb el polinomi original no hi hauria forma de saber si es tracta o no d'un factor repetit. De les arrels que corresponen a factors que estan repetits n cops se'n diu que tenen un grau de multiplicitat n .

Cerca d'arrels racionals dels polinomis amb coeficients racionals[modifica]

Si tots els coeficients d'un polinomi es multipliquen pel un mateix nombre c diferent de zero, el nou polinomi que s'obté té les mateixes arrels que el polinomi original. Fixeu-vos que el valor numèric del nou polinomi a cada punt és igual al valor numèric del polinomi original multiplicat per c per tant en el punts on l'antic polinomi valia zero el nou també. Això permet fer dues observacions:

  1. Si un polinomi té coeficients racionals, es poden multiplicar tots els coeficients per un nombre c que faci que els coeficients siguin enters (per exemple pel mínim comú múltiple dels denominadors dels coeficients) i el nou polinomi té les mateixes arrels que el polinomi original.
  2. Si un polinomi té factors irreductibles de la forma (x-t) amb t racional llavors si el denominador de t és d, multiplicant per d es troba un factor irreductible de la forma (dx-dt). El producte d'aquests factors té al coeficient principal el resultat de multiplicar tots els denominadors. Per tant si el polinomi té arrels racionals, el denominador d'aquestes arrels ha de ser divisor del coeficient principal del polinomi.

Això permet establir un mètode per trobar les arrels racionals d'un polinomi amb coeficients racionals (si en té):

  1. Trobar un nou polinomi amb les mateixes arrels però amb coeficients enters multiplicant tots els coeficients pel mínim comú múltiple dels denominadors dels coeficients.
  2. Trobar tots els divisors del terme independent i del coeficient principal.
  3. Formar tots els nombres racionals que tenen per numerador un divisor del terme independent i per denominador un divisor del coeficient principal.
  4. Provar, per exemple amb el mètode de Ruffini, quins dels candidats són efectivament arrels.

Cerca d'arrels reals dels polinomis amb coeficients reals[modifica]

Per caracteritzar exactament el nombre d'arrels reals que té un polinomi i trobar-les es necessiten eines que s'explicaran en l'apartat de derivades i màxims i mínims de funcions. Però hi ha un cas particular que es pot explicar amb els coneixements actuals.

Si un polinomi amb coeficients reals té grau senar, per força ha de tenir com a mínim una arrel real. Fixeu-vos que per valors de la variable x negatius amb mòdul molt gran, el valor numèric del polinomi té un mòdul molt gran de signe contrari al signe del coeficient principal, mentre que per valors de x de mòdul molt gran i signe positiu, el valor numèric del polinomi és de mòdul molt gran i del mateix signe que el coeficient principal. Per tant a base de donar un valor prou gran al mòdul de x es poden trobar dos punts tals que el valor numèric del polinomi en un sigui més gran que zero i en l'altre més petit que zero.

      • Pendent d'escriure Demostració de que el valor numèric d'un polinomi en els conjunt dels reals, si adopta dos valors adopta tots els intermedis.


A partir d'aquest dos punts es pot construir un parell de successions a base de trobar el valor numèric del polinomi en el punt intermedi, si aquest valor és més gran o igual que zero aquest nou punt substitueix l'extrem de l'interval on el valor era més gran o igual que zero. Això dóna una successió d'intervals tancats i encaixats.

      • Pendent d'escriure la demostració que les dues successions formades pels extrems dels intervals tenen límit el límit és el mateix i al valor numèric del polinomi en el límit és zero.

Màxim comú divisor i mínim comú múltiple de dos polinomis[modifica]

Simplificació i operacions amb expressions fraccionàries senzilles.[modifica]

Una fracció algèbrica és una fracció que té un polinomi al numerador i un altre al denominador. El valor numèric de la fracció algèbrica en un punt és la fracció que té al numerador el valor numèric en el punt del polinomi del numerador i al denominador el valor numèric del polinomi del denominador.

És a dir, si P(x) i Q(x) són dos polinomis llavors P(x)/Q(x) és una fracció algèbrica, si P(t) és el valor numèric del polinomi P(x) al punt t i Q(t) és el valor numèric del polinomi Q(x) al punt t llavors P(t)/Q(t) és el valor numèric de la fracció algèbrica P(x)/Q(x) al punt t.

Per exemple donats

Llavors

És una fracció algèbrica.

El valor numèric de la fracció algèbrica en el punt x = 2 és:

Dues fraccions algèbriques són equivalents si tenen el mateix valor numèric en tots els punts. Per exemple:

i

Són equivalents.

De vegades també es consideren equivalents les fraccions numèriques resultat d'eliminar factors comuns al numerador i al denominador d'una fracció algèbrica per exemple:

i

Són equivalents a tots el punts tret de x=2 perquè en aquest punt la primera fracció algèbrica no està definida i la segona val 7/4. Però en la resta de punts els seus valors numèrics són idèntics. Es pot fer que siguin fraccions equivalents si en aquest punt on el valor numèric de la primera fracció no està definit, es defineix precisament perquè sigui 7/4. Sempre que es diu que multiplicant el numerador i el denominador d'una fracció algèbrica per un polinomi s'obté una fracció equivalent, en el cas que el polinomi tingui zeros, cal entendre que en els zeros que són comuns al numerador i al denominador s’està estenent la definició del valor numèric precisament d’aquesta manera.

Les operacions amb fraccions algèbriques es poden definir de manera que els valors numèrics de les fraccions resultat siguin sempre el resultat dels valors numèrics de les fraccions a tots els punts. D'aquesta forma cal definir la suma, resta, multiplicació i divisió de fraccions algèbriques de la següent forma:

Suma.

Resta.

Multiplicació.

Divisió.


Descomposició de fraccions algèbriques[modifica]

Tota fracció algèbrica es pot descompondre en suma de fraccions algèbriques tals que el denominador de cada una sigui un polinomi irreductible. Aquest procés serà útil en la integració de funcions definides a partir de fraccions algèbriques.

Si el numerador té un grau superior al denominador el primer pas és dividir el numerador entre el denominador i expressar la fracció com la suma del polinomi quocient més la fracció racional que té al numerador el residu i el dividend al denominador.

Exemple

Llavors es descompon en factors primers el denominador i es planteja l’equació de que la fracció racional sigui igual a la suma de fraccions racionals que es busquen.

Apareix un sistema d’equacions. Es resol emprant els mètodes que s’expliquen en la propera lliçó. I així es troba la descomposició que es buscava.

      • Pendent d'acabar***