Matemàtiques (nivell ESO)/Successions recurrents

Successions creixents i decreixents

Successions recurrents

[[Matemàtiques (nivell ESO)/|]]

Definició

Una successió és recurrent quan obtenim cadascun dels termes a partir dels anteriors.

• Exemple:

Troba el terme general i calcula $\begin{matrix}a_8\end{matrix}$ i $\begin{matrix}a_9\end{matrix}$.

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 ... $\begin{matrix}\longrightarrow\end{matrix}$ El nombre anterior més 4.

Per tant: $\begin{matrix}\longrightarrow\end{matrix}$ $\begin{matrix}a_n\end{matrix}$ = $\begin{matrix}a_{n-1}\end{matrix}$+4

$\begin{matrix}a_8\end{matrix}$ = $\begin{matrix}a_7\end{matrix}$+4 = 28+4 = 32

$\begin{matrix}a_9\end{matrix}$ = $\begin{matrix}a_8\end{matrix}$+4 = 32+4 = 36

Successió de Fibonacci

Un enrajolat amb quadrats els costats dels quals tenen una longitud de nombres de Fibonacci successius

Una espiral de Fibonacci, creada dibuixant arcs que connecten les cantonades oposades de quadrats de l'enrajolament de Fibonacci, mostrat al gràfic anterior. És la denominada espiral daurada.

La successió de Fibonacci és una successió de nombres naturals a la qual cada un dels termes és igual a la suma dels dos anteriors.

Prenguem una successió de nombres naturals de tal forma que els dos primers termes siguin

F(0) = 0

F(1) = 1

i cadascun dels següents termes és la suma dels dos anteriors:

$F(n) = F(n-2) + F(n-1)$ per a $n\geq 2$

Aquesta successió és l'anomenada Successió de Fibonacci, descrita per primera vegada per Leonardo de Pisa (àlies Fibonacci) i cadascun dels seus termes rep el nom de nombre de Fibonacci.

Els vint primers termes d'aquesta successió són:

n		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
F(n)		1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377	610	987	1597	2584	4181	6765

Enllaços externs

• Fibonacci and the Golden Mean Vídeo on s'explica, de forma visual, la relació entre la successió de Fibonacci i el nombre d'or, a més d'altres propietats. (anglès)