Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/ESPA/Matemàtiques/Matemàtiques 2.2/Unitat 3. Probabilitats/Probabilitat composta

Experiments composts

Un experiment compost és el que està format per diversos experiments simples que es realitzen de forma consecutiva. Per exemple, el llançament de dues monedes (A i B) és un experiment compost format pels experiments següents:

• Llençar la moneda A
• Llençar la moneda B

Els resultats d'aquest experiment compost són els següents:

Que surti cara (C) a la moneda A i cara (C) a la moneda B	Que surti cara (C) a la moneda A i creu (X) a la moneda B	Que surti creu (X) a la moneda A i cara (C) a la moneda B	Que surti creu (X) a la moneda A i creu (X) a la moneda B

O de forma simplificada:

$\Omega =\{CC,CX,XC,XX\}$

Diagrames d'arbre

Un diagrama d'arbre consisteix de nodes (punts) connectats per línies, que s'anomenen branques, de la forma següent:

• 
• 
• 

Per calcular l'espai mostral d'un experiment compost convé, en molts casos, fer un diagrama d'arbre que representi totes les possibilitats. Cada resultat ve donat per un camí del diagrama.

Aquests diagrames permeten representar experiments composts de la forma següent:

• Cada node de bifurcació es fa correspondre amb un experiment simple.
• Cada una de les branques que surten del node són els diversos esdeveniments simples d'aquell experiment.
• Un camí que comenci al node arrel, es vagi bifurcant per branques i arribi a un node fulla és un esdeveniment compost.

Esdeveniments independents

Quan es produeixen esdeveniments aleatoris consecutivament d'un espai mostral, poden donar-se dos tipus genèrics de situacions:

• Els esdeveniments són independents entre ells, de manera que no influeixen l'un en l'altre.
• Cada esdeveniment està condicionat pel resultat de l'anterior.

Per exemple són esdeveniments independents llançar dos daus i observar els dos resultats. D'una caixa amb una bola negra i dues blanques, extreure'n dues boles (s'entén sense retornar-les a la caia) són esdeveniments dependents, el resultat de la segona dependrà del color de la primera bola.

Donats dos esdeveniments, es diu que són independents si la verificació d'un no influeix en la probabilitat de l'altre; en cas contrari són dependents. En fórmules, són independents si es compleixen qualssevol de les igualtats següents (són equivalents):

• $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$
• $P(A/B)=P(A)$
• $P(B/A)=P(B)$

Quan es compleix una de les igualtats, també es compleixen la resta. I al revés, si una no es compleix, les altres tampoc.

Calcular probabilitats

Sobre el diagrama d'arbre d'un experiment compost s'indica la probabilitat de cada branca. Cada camí des de l'arrel fins a les fulles representa un esdeveniment compost. La probabilitat d'aquest esdeveniment s'obté calculant el producte de les probabilitats anotades a cada branca del seu camí.