Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/ESPA/Matemàtiques/Matemàtiques 2.2/Unitat 2. Funcions/Representació gràfica de funcions quadràtiques
L'objectiu d'aquest apartat és explicar com es pot fer una representació gràfica d'una funció quadràtica a partir de les seves propietats.
Tipus de funció[modifica]
Les funcions quadràtiques són funcions del tipus
on són nombres reals.
Fixem-nos que, a diferència de les equacions de la unitat anterior, la fórmula no està igualada a zero.
Exemples[modifica]
Són funcions quadràtiques:
Exemple 1
Exemple 2
Exemple 3
Exemple 4
Vèrtex[modifica]
El vèrtex és l'únic punt de màxima curvatura. Aquest punt es troba a partir de la fórmula
Aquest valor dóna la coordenada . Calculant el valor numèric de la funció en aquest valor, es troba la coordenada . Aquests dos valors convé expressar-los com a nombres decimals per poder representar el punt gràficament.
Exemple[modifica]
On es troba el vèrtex d'aquesta funció?
Hem de recórrer a la fórmula que ens donen
Resolem l'exemple pas a pas:
- Els coeficients són , , .
- Usam la fórmula
- Calculam la imatge del valor trobat:
- El vèrtex està situat al punt
Orientació[modifica]
L'orientació es refereix al sentit de la paràbola, és a dir, si el vèrtex estarà situat a la part inferior o superior.
-
Valor positiu
-
Valor negatiu
Valors de positius indiquen que la pàrabola tendrà forma de U. Valors negatius indiquen la forma invertida.
Exemples[modifica]
Quines orientacions tenen les funcions següents:
Exemple 1
Té forma de
Exemple 2
Té forma de
Exemple 3
Té forma de
Exemple 4
Té forma de
Forma[modifica]
La forma es refereix a si la paràbola serà més ampla o més estreta.
-
A mesura que augmenta el valor , la gràfica es va estrenyent.
Com més gran sigui el valor de , més estreta és la paràbola.
Punts de tall amb l'eix OY[modifica]
La funció quadràtica passarà per sobre l'eix OY. I només n'hi haurà un, perquè partirem sempre d'una funció.
Per trobar el punt de tall amb l'eix OY, hem de calcular la imatge de 0, és a dir, . Les coordenades d'aquest punt sempre són
Exemples[modifica]
Quins són els punts de tall amb l'eix OY?
Exemple 1
Calculam
Per tant, la funció tallarà l'eix OY pel punt
Exemple 2
Calculam
Per tant, la funció tallarà l'eix OY pel punt
Exemple 3
Calculam
Per tant, la funció tallarà l'eix OY pel punt
Exemple 4
Calculam
Per tant, la funció tallarà l'eix OY pel punt
Punts de tall amb l'eix OX[modifica]
La funció quadràtica podrà passar per damunt l'eix OX. Potser trobem 1 punt, 2 punts o cap punt.
Per trobar els punts de tall amb l'eix OX, igualam la funció a zero, és a dir,
Resoldrem aquesta equació amb la fórmula ja vista a la unitat anterior
Si les solucions són aleshores els punts de tall tenen coordenades i
Exemples[modifica]
En les funcions següents, quins són els punts de tall amb l'eix OX?
Exemple 1
Aplicam la fórmula
Obtenim i .
Per tant, els punts de tall són i
Exemple 2
Els punts de tall amb l'eix OX són i
Exemple 3
El punt de tall amb l'eix OX és
Exemple 4
No té punts de tall amb l'eix OX.
Taula de valors[modifica]
Construim una taula de valors amb els punts trobats en els apartats anteriors.
Completam la taula amb valors de que no hagin aparegut.
Exemples[modifica]
Exemple 1
x | y |
---|---|
1.5 | -6.25 |
0 | -4 |
4 | 0 |
-1 | 0 |
Exemple 2
Exemple 3
Exemple 4
Simetria[modifica]
Les funcions quadràtiques són funcions amb simetria respecte de la línia vertical que passa pel vèrtex.
Això vol dir que el vèrtex ens divideix el gràfic en dues meitats iguals i tot allò que dibuixem a un costat del vèrtex ho podrem traslladar a l'altre costat.
Vídeos[modifica]
En el vídeo següent falta l'orientació:
https://www.youtube.com/watch?v=ira6fc3zuRg
En el vídeo següent falten l'orientació i la simetria:
https://www.youtube.com/watch?v=4KySE4o35cA
En el vídeo següent falta la simetria: