Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/ESPA/Matemàtiques/Matemàtiques 2.2/Unitat 2. Funcions/Representació gràfica de funcions quadràtiques

Salta a la navegació Salta a la cerca

L'objectiu d'aquest apartat és explicar com es pot fer una representació gràfica d'una funció quadràtica a partir de les seves propietats.

Tipus de funció[modifica]

Les funcions quadràtiques són funcions del tipus

on són nombres reals.

Fixem-nos que, a diferència de les equacions de la unitat anterior, la fórmula no està igualada a zero.

Exemples[modifica]

Són funcions quadràtiques:

Exemple 1

Exemple 2

Exemple 3

Exemple 4

Vèrtex[modifica]

El vèrtex és l'únic punt de màxima curvatura. Aquest punt es troba a partir de la fórmula

Aquest valor dóna la coordenada . Calculant el valor numèric de la funció en aquest valor, es troba la coordenada . Aquests dos valors convé expressar-los com a nombres decimals per poder representar el punt gràficament.

Exemple[modifica]

On es troba el vèrtex d'aquesta funció?

Graph of quadratic function y=x²-3x-4.png

Hem de recórrer a la fórmula que ens donen

Resolem l'exemple pas a pas:

  1. Els coeficients són , , .
  2. Usam la fórmula
  3. Calculam la imatge del valor trobat:
  4. El vèrtex està situat al punt

Orientació[modifica]

L'orientació es refereix al sentit de la paràbola, és a dir, si el vèrtex estarà situat a la part inferior o superior.

Valors de positius indiquen que la pàrabola tendrà forma de U. Valors negatius indiquen la forma invertida.

Exemples[modifica]

Quines orientacions tenen les funcions següents:

Exemple 1

Té forma de

Exemple 2

Té forma de

Exemple 3

Té forma de

Exemple 4

Té forma de

Forma[modifica]

La forma es refereix a si la paràbola serà més ampla o més estreta.

Com més gran sigui el valor de , més estreta és la paràbola.

Punts de tall amb l'eix OY[modifica]

La funció quadràtica passarà per sobre l'eix OY. I només n'hi haurà un, perquè partirem sempre d'una funció.

Per trobar el punt de tall amb l'eix OY, hem de calcular la imatge de 0, és a dir, . Les coordenades d'aquest punt sempre són

Exemples[modifica]

Quins són els punts de tall amb l'eix OY?

Exemple 1

Calculam

Per tant, la funció tallarà l'eix OY pel punt

Exemple 2

Calculam

Per tant, la funció tallarà l'eix OY pel punt

Exemple 3

Calculam

Per tant, la funció tallarà l'eix OY pel punt

Exemple 4

Calculam

Per tant, la funció tallarà l'eix OY pel punt

Punts de tall amb l'eix OX[modifica]

La funció quadràtica podrà passar per damunt l'eix OX. Potser trobem 1 punt, 2 punts o cap punt.

Per trobar els punts de tall amb l'eix OX, igualam la funció a zero, és a dir,

Resoldrem aquesta equació amb la fórmula ja vista a la unitat anterior

Si les solucions són aleshores els punts de tall tenen coordenades i

Exemples[modifica]

En les funcions següents, quins són els punts de tall amb l'eix OX?

Exemple 1

Aplicam la fórmula

Obtenim i .

Per tant, els punts de tall són i

Exemple 2

Els punts de tall amb l'eix OX són i

Exemple 3

El punt de tall amb l'eix OX és

Exemple 4

No té punts de tall amb l'eix OX.

Taula de valors[modifica]

Construim una taula de valors amb els punts trobats en els apartats anteriors.

Completam la taula amb valors de que no hagin aparegut.

Exemples[modifica]

Exemple 1

xy
1.5-6.25
0-4
40
-10

Exemple 2

Exemple 3

Exemple 4

Simetria[modifica]

Les funcions quadràtiques són funcions amb simetria respecte de la línia vertical que passa pel vèrtex.

Això vol dir que el vèrtex ens divideix el gràfic en dues meitats iguals i tot allò que dibuixem a un costat del vèrtex ho podrem traslladar a l'altre costat.

Vídeos[modifica]

En el vídeo següent falta l'orientació:

https://www.youtube.com/watch?v=ira6fc3zuRg

En el vídeo següent falten l'orientació i la simetria:

https://www.youtube.com/watch?v=4KySE4o35cA

En el vídeo següent falta la simetria:

https://www.youtube.com/watch?v=gnAdna_tLK0