Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/ESPA/Matemàtiques/Matemàtiques 2.2/Unitat 2. Funcions/Representació gràfica de funcions quadràtiques

L'objectiu d'aquest apartat és explicar com es pot fer una representació gràfica d'una funció quadràtica a partir de les seves propietats.

Tipus de funció

Les funcions quadràtiques són funcions del tipus

$f(x)=ax^{2}+bx+c$

on $a,b,c$ són nombres reals.

Fixem-nos que, a diferència de les equacions de la unitat anterior, la fórmula no està igualada a zero.

Exemples

Són funcions quadràtiques:

Exemple 1

$f(x)=x^{2}-3x-4$

Exemple 2

$f(x)=-x^{2}-8x+2$

Exemple 3

$f(x)=2x^{2}-12x+18$

Exemple 4

$f(x)=-3x^{2}+5x-10$

Vèrtex

El vèrtex és l'únic punt de màxima curvatura. Aquest punt es troba a partir de la fórmula

$v_{x}={\dfrac {-b}{2a}}$

Aquest valor dóna la coordenada $x$. Calculant el valor numèric de la funció en aquest valor, es troba la coordenada $y$. Aquests dos valors convé expressar-los com a nombres decimals per poder representar el punt gràficament.

Exemple

On es troba el vèrtex d'aquesta funció?

Hem de recórrer a la fórmula que ens donen $f(x)=x^{2}-3x-4$

Resolem l'exemple pas a pas:

1. Els coeficients són $a=1$, $b=-3$, $c=-4$.
2. Usam la fórmula $v_{x}={\dfrac {-b}{2a}}={\dfrac {+3}{2\cdot 1}}=1.5$
3. Calculam la imatge del valor trobat: $f(1.5)=(1.5)^{2}-3\cdot (1.5)-4=-6,25$
4. El vèrtex està situat al punt $(1.5;-6.25)$

Orientació

L'orientació es refereix al sentit de la paràbola, és a dir, si el vèrtex estarà situat a la part inferior o superior.

• 
  Valor $a$ positiu
• 
  Valor $a$ negatiu

Valors de $a$ positius indiquen que la pàrabola tendrà forma de U. Valors negatius indiquen la forma invertida.

Exemples

Quines orientacions tenen les funcions següents:

Exemple 1

$f(x)=x^{2}-3x-4$

Té forma de $\cup$

Exemple 2

$f(x)=-x^{2}-8x+2$

Té forma de $\cap$

Exemple 3

$f(x)=2x^{2}-12x+18$

Té forma de $\cup$

Exemple 4

$f(x)=-3x^{2}+5x-10$

Té forma de $\cap$

Forma

La forma es refereix a si la paràbola serà més ampla o més estreta.

• 
  A mesura que augmenta el valor $a$, la gràfica es va estrenyent.

Com més gran sigui el valor de $a$, més estreta és la paràbola.

Punts de tall amb l'eix OY

La funció quadràtica passarà per sobre l'eix OY. I només n'hi haurà un, perquè partirem sempre d'una funció.

Per trobar el punt de tall amb l'eix OY, hem de calcular la imatge de 0, és a dir, $f(0)$. Les coordenades d'aquest punt sempre són $(0,c)$

Exemples

Quins són els punts de tall amb l'eix OY?

Exemple 1

$f(x)=x^{2}-3x-4$

Calculam $f(0)=0^{2}-3\cdot 0-4=-4$

Per tant, la funció tallarà l'eix OY pel punt $(0,-4)$

Exemple 2

$f(x)=-x^{2}-8x+2$

Calculam $f(0)=-0^{2}-8\cdot 0+2=2$

Per tant, la funció tallarà l'eix OY pel punt $(0,2)$

Exemple 3

$f(x)=2x^{2}-12x+18$

Calculam $f(0)=2\cdot 0^{2}-12\cdot 0+18=18$

Per tant, la funció tallarà l'eix OY pel punt $(0,18)$

Exemple 4

$f(x)=-3x^{2}+5x-10$

Calculam $f(0)=-3\cdot 0^{2}+5\cdot 0-10=-10$

Per tant, la funció tallarà l'eix OY pel punt $(0,-10)$

Punts de tall amb l'eix OX

La funció quadràtica podrà passar per damunt l'eix OX. Potser trobem 1 punt, 2 punts o cap punt.

Per trobar els punts de tall amb l'eix OX, igualam la funció a zero, és a dir,

$ax^{2}+bx+c=0$

Resoldrem aquesta equació amb la fórmula ja vista a la unitat anterior

$x={\dfrac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Si les solucions són $p,q$ aleshores els punts de tall tenen coordenades $(p,0)$ i $(q,0)$

Exemples

En les funcions següents, quins són els punts de tall amb l'eix OX?

Exemple 1

$f(x)=x^{2}-3x-4$

Aplicam la fórmula $x={\dfrac {3\pm {\sqrt {(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot (-4)}}}{2\cdot 1}}$

Obtenim $4$ i $-1$.

Per tant, els punts de tall són $(4,0)$ i $(-1,0)$

Exemple 2

$f(x)=-x^{2}-8x+20$

Els punts de tall amb l'eix OX són $(2,0)$ i $(-10,0)$

Exemple 3

$f(x)=2x^{2}-12x+18$

El punt de tall amb l'eix OX és $(3,0)$

Exemple 4

$f(x)=-3x^{2}+5x-10$

No té punts de tall amb l'eix OX.

Taula de valors

Construim una taula de valors amb els punts trobats en els apartats anteriors.

Completam la taula amb valors de $x$ que no hagin aparegut.

Exemples

Exemple 1

$f(x)=x^{2}-3x-4$

x	y
1.5	-6.25
0	-4
4	0
-1	0

Exemple 2

$f(x)=-x^{2}-8x+2$

Exemple 3

$f(x)=2x^{2}-12x+18$

Exemple 4

$f(x)=-3x^{2}+5x-10$

Simetria

Les funcions quadràtiques són funcions amb simetria respecte de la línia vertical que passa pel vèrtex.

Això vol dir que el vèrtex ens divideix el gràfic en dues meitats iguals i tot allò que dibuixem a un costat del vèrtex ho podrem traslladar a l'altre costat.

Vídeos

En el vídeo següent falta l'orientació:

https://www.youtube.com/watch?v=ira6fc3zuRg

En el vídeo següent falten l'orientació i la simetria:

https://www.youtube.com/watch?v=4KySE4o35cA

En el vídeo següent falta la simetria:

https://www.youtube.com/watch?v=gnAdna_tLK0