Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/ESPA/Matemàtiques/Matemàtiques 2.2/Unitat 2. Funcions/Introducció

Salta a la navegació Salta a la cerca

En aquesta unitat aprendrem unes eines matemàtiques que ens permeten estudiar fenòmens de la vida real, des de diversos punts de vista: el numèric, l'algebraic i el visual.

Les eines matemàtiques que aprendrem són les següents:

  • Com a concepte bàsic, el de funció ens permet relacionar dades procedents de fonts diferents de manera que es pugui mostrar algun tipus de dependència entre unes dades i unes altres (per exemple entre el número d'infectats d'una malalatia i el temps que ha transcorregut). Normalment, observant només els números de cada dada no sabríem com trobar dependències.
  • La representació gràfica de les funcions ens permet mostrar sobre un gràfic (un dibuix) les relacions expressades per mitjà d'una funció, però també d'altres tipus de relacions. Una mirada a una d'aquestes representacions gràfiques ens permet captar i entendre a simple vista fenòmens que podrien resultar molt complexos si només llegíssim les dades. Però també ens permet cercar patrons i intentar preveure certs comportaments (per exemple deduir quin serà el número d'infectats d'una malaltia d'aquí a unes setmanes).
  • Les característiques de funcions, que són aquells atributs que té una funció i que podem observar o deduir des d'un gràfic. Característiques com són: la continuïtat, el creixement o e decreixement, els punts màxims i mínims, la periodicitat, etc. Conéixer les caractersítiques d'una funció permet deduir dades que falten o que s'esperarien.
  • Els tipus de funcions, els que habitualment s'ensenyen a classe de matemàtiques, ens permetran estudiar fenòmens més concrets i aplicats: funcions afins, funcions quadràtiques, funcions exponencials, etc.

En concret estudiarem les funcions quadràtiques, que ens permeten treballar temes aplicats que ja es varen encetar a la unitat 1.

Dades i variables[modifica]

Sovint interessa relacionar dos camps de dades, per exemple el temps caminat i la distància recorreguda. A cada camp l'anomenam conjunt de nombres

Aquestes dades poden estar recollides en forma de taula:

Temps (min) Distància (m)
0 0
1 200
2 300
3 200
4 80
5 20

Cada columna correspon a una variable i les dades s'anomenen valors. El fet que dos valors apareguin a la mateixa fila significa que estan "relacionats". La variable que situam en primer lloc s'anomena variable independent i la variable que situam a la segona columna s'anomena variable dependent. A aquesta forma de disposar les dades se l'anomena taula de valors.

Observa[modifica]

Començam amb dues preguntes:

1. A la primera columna hi ha valors repetits que tenguin dos valors diferents a la segona columna?
Solució 
No, tots els valors de la primera columna són diferents.
2. A la primera columna hi ha valors diferents que tenguin un mateix valor a la segona columna?
Solució 
Sí, per exemple

Propietat de les funcions[modifica]

A la taula de valors anterior podem observar un fet: que cada fila té un valor diferent per al temps, és a dir, no hi ha valors repetits en el temps i que corresponguin a dos valors diferents amb la distància. Aquesta propietat se sol enunciar de la forma següent:

PROPIETAT DE LES FUNCIONS

A cada valor de la variable independent li correspon com a molt un valor de la variable dependent.


Per un altre costat, notem que l'expressió "com a molt" inclou la possibilitat que hi hagi valors de la variable inepdenent que no tenguin cap valor definit a la variable dependent. Per exemple, per al temps 10 no tenim dades de distància. Això és perfectament possible perquè ens podem haver aturat de registrar o no ens interessin aquests valors. Però la PROPIETAT DE LES FUNCIONS continua complint-se. Hi insistirem més envant quan hàgim de definir el concepte de domini.


Exemples[modifica]

Corresponen les taules de valors següents a funcions?

Exemple 1

xy
120
240
360
480
5100

Exemple 2

xy
35
65
95
125
155

Exemple 3

xy
1ND
210
312
4ND
516

ND: valor no definit.

Exemple 4

xy
-521
-244
068
3-80
6ND

ND: valor no definit.

Exemple 5

Distància (m)Temps (min)
00
2001
3002
2003
804
205

És la taula d'abans però amb les columnes intercanviades.

Per a les solucions seleccionau el requadre gris:

Els exemples 1, 2, 3, 4 corresponen a funcions. L'exemple 5 no correspon a una funció perquè hi ha dues files amb el mateix valor de distància, 200, però lligades a dos valors de temps diferents, 1 i 3.

Notació[modifica]

Si a la taula li deim F, es defineix una notació especial per indicar que dues dades estan associades.

Aquesta notació significa que un valor de la variable independent està associat amb un valor de la variable dependent i que la relació que lliga un amb l'altre s'anomena

Si utilitzam aquesta notació amb qualsevol de les files de la taula obtenim el següent:

Exemples[modifica]

Seguint amb els mateixos exemples 1, 2, 3 i 4, què valdrien els resultats dins els requadres grisos. Seleccionau cada requadre per veure la solució.

Exemple 1

Calcula:

  • 20
  • 40
  • 60
  • 80
  • 100

Exemple 2

Calcula:

  • 5
  • 5
  • 5
  • 5
  • 5

Exemple 3

Calcula:

  • No existeix
  • 10
  • 12
  • No existeix
  • 16

Exemple 4

Calcula:

  • 21
  • 44
  • 68
  • -80
  • No existeix

El concepte de funció matemàtica[modifica]

Ara estam preparats per definir una funció de forma molt més general.

Una funció és una relació entre dues variables que complesqui la PROPIETAT DE LES FUNCIONS, és a dir, per a cada valor de la variable independent hi ha com a molt un valor a la variable dependent.

Com veurem més envant, les funcions no sempre tenen el seu origen a una taula de valors. També poden provenir d'un gràfic o d'una fórmula.

Allò que no són funcions[modifica]

No totes les taules donen lloc a una funció

Per exemple,

x y
0 0
200 1
300 2
200 3
80 4
20 5

no és una funció perquè el valor 200 de la variable Distància va associat a més d'un valor diferent de la variable Temps, com són 1 i 3.

Imatges[modifica]

Recordem que cada valor pot correspondre a un únic valor de de la variable dependent i que aquest fet es denota com . Aleshores el valor rep el nom de imatge de . I de fet també es pot veure com . Amb l'exemple del temps i la distància anterior, què serien les imatges d'un valor qualsevol, per exemple 1?

  • La imatge de 1 és 200 perquè el valor 1 de la variable independent Temps va lligat al valor 200 de la variable dependent Distància.
  • Si és el nom d'aquesta funció, podem escriure per referir-nos a la imatge de 1.
  • També podem escriure

Exemples:

  • , que és el mateix que dir que 200 és la imatge de 1.
  • , que és el mateix que dir que 300 és la imatge de 2.
  • , que és el mateix que dir que 200 és la imatge de 3.

Observem que arran de la PROPIETAT DE LES FUNCIONS, la imatge d'un cert valor només podrà ser un únic valor. No té sentit que escrivim diversos resultats diferents per a la imatge d'un valor.

No obstant, sí que hi pot haver imatges repetides que corresponguin a dos valors distints de la variable independent, com passa amb 1 i 3, que tenen tots dos la mateixa imatge 200.

Anti-imatges[modifica]

Si abans partíem d'un valor de la variable independent per obtenir un valor de la variable dependent, també interessa fer el procés a la inversa, és a dir, poder partir d'un valor i calcular quin podrà ser el valor . A aquest valor cercat l'anomenam anti-imatge, amb el prefix "anti" perquè correspon al procés invers de cerca. Vegem amb l'exemple que hem treballat fins ara.

Temps (min) Distància (m)
0 0
1 200
2 300
3 200
4 80
5 20

Esbrina tu mateix

Respon aquestes 4 preguntes:

  • Quina és la anti-imatge de 300?
    Cercam el valor 300 dins la variable dependent Distància. El 300 apareix només a una fila. I en aquesta única fila, 300 va lligat al valor 2 a la variable independent. Per tant, la anti-imatge de 300 és 2.
  • Quina és la anti-imatge de 80?
    Cercam el valor 80 dins la variable dependent Distància. El 80 apareix només a una fila. I en aquesta única fila, 80 va lligat al valor 4 a la variable independent. Per tant, la anti-imatge de 80 és 4.
  • Quina és la anti-imatge de 200?
    Resulta que a la taula n'hi ha dos, que són 1 i 3. Qualsevol d'aquests valors va lligat a 200. Aleshores tant 1 com 3 són anti-imatges de 200.
  • Quina és l'anti-imatge de 50?
    Per molt que cerquem a la taula, no hi ha cap valor de Temps lligat al 50. Per tant, no hem trobat res. Aleshores la anti-imatge de 50 no existeix.

En conclusió, el procés de partir d'un valor i cercar les seves anti-imatges pot donar tres tipus de situacions:

  • Que hi hagi un únic valor, com per exemple amb el 300
  • Que n'hi hagi més d'un, com per exemple amb el 200.
  • Que no hi hagi cap valor, com per exemple amb el 50.

Les anti-imatges se denoten amb l'expressió següent:

Observem el superíndex que no expressa una potència sinó una forma d'indicar el procés invers de cerca.

Com podríem escriure els resultats trobats fins ara?

  • o també

Una forma alternativa d'expressar l'última situació és dient simplement que no existeix la anti-imatge de 50.