Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/ESPA/Matemàtiques/Matemàtiques 2.1/Unitat 4/Funcions afins

Salta a la navegació Salta a la cerca

Definició[modifica]

Una funció afí és una funció de variable real que té la forma

o també

on i són dos nombres reals.

La gràfica de totes aquestes funcions és una recta. Aleshores:

  • és el pendent
  • és l'ordenada a l'origen


Exemple[modifica]

La funció és a afí.

Construïm una taula de valors:

x y=2x+3
0
1
2
3
-1
-2
-3
-4

Aquesta taula de valors es representa sobre uns eixos de coordenades i es traça una línia recta que passi per tots ells. Si algun dels punts queda fora de la recta, s'hauran de revisar els càlculs.

Propietats[modifica]

A partir d'una funció amb equació , descobriu quines són les seves propietats.

Propietat 1

La representació gràfica d'aquesta funció és...

Solució 
una recta

Propietat 2

Si aleshores la recta és...

Solució 
creixent

Propietat 3

Si aleshores la recta és...

Solució 
decreixent

Propietat 4

Si aleshores la recta és...

Solució 
horitzontal

Propietat 5

Si no apareix aleshores la recta és...

Solució 
horitzontal

Propietat 6

La recta talla l'eix OY amb coordenades...

Solució 

Exemples[modifica]

Exemple 1[modifica]

La funció

correspon gràficament a una recta que té pendent 2 i ordenada a l'origen 3

Exemple 2[modifica]

La funció

correspon gràficament a una recta que té pendent 4 i ordenada a l'origen 0.

Exemple 3[modifica]

La funció

correspon gràficament a una recta que té pendent -4 i ordenada a l'origen 1.

Exemple 4[modifica]

La funció

correspon gràficament a una recta que té pendent -2,5 i ordenada a l'origen 0.

Exemple 5[modifica]

La funció

correspon gràficament a una recta que té pendent 0 i ordenada a l'origen 7.


Com determinar l'equació d'una recta[modifica]

A partir d'una recta dibuixada o bé alguns elements seus, l'objectiu és escriure una equació de la forma següent:

la representació gràfica de la qual complesqui les condicions donades inicialment.

Es tracta d'aprofitar les condicions per substituir els valors desconeguts i resoldre les noves equacions que puguin aparéixer.

Hi ha dues formes de determinar l'equació d'una recta: de forma algebraica i de forma gràfica.

Forma gràfica[modifica]

Forma algebraica[modifica]

Exemple 1. Dos punts

Quina és l'equació de la recta que passa per i ?

Substituïm a l'equació

Primera substitució:

  • Per tant,

Segona substitució:

  • Per tant,

El conjunt

és un sistema d'equacions. El resolem per reducció:

i obtenim

A partir de la primera equació obtenim

Aïllant

Per tant, l'equació de la recta és

Exemple 2. Punt i pendent

Quina és l'equació de la recta que passa pel punt amb pendent

A l'equació substituïm tots els valors excepte :

Obtenim i aïllant

Per tant, l'equació és

Exemple 3. Ens donen punt i ordenada a l'origen

Quina és l'equació de la recta que passa pels punts i ordenada a l'origen ?

Substituïm a l'equació

I obtenim:

La resolem i obtenim

Per tant, l'equació de la recta és

Exemple 4. Ens donen la recta dibuixada

Si proporcionen la recta dibuixada sobre uns eixos de coordenades, es localitzen dos punts arbitraris de la recta. Usualment:

  • Un dels punts sobre l'eix OY, per obtenir directament l'ordenada a l'origen.
  • L'altre punt amb coordenades coincidents a la graella cartesiana.

A continuació, s'aplica algun dels procediments anteriors per trobar l'equació de la recta.