Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/ESPA/Matemàtiques/Matemàtiques 2.1/Unitat 3/Mesures de centralització

Mitjana aritmètica

La mitjana aritmètica d'una sèrie de dades $x_{1},x_{2},x_{3}\ldots$ es defineix com la suma de tots ells dividida pel nombre de dades.

Es denota per ${\overline {x}}$ i correspon a la fórmula:

${\overline {x}}={\dfrac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ldots +x_{n}}{n}}$

amb $n$ el nombre total de dades.

Exemples

• La mitjana aritmètica de $4,6,9,11$ és

  ${\overline {x}}={\dfrac {4+6+9+11}{4}}={\dfrac {30}{4}}=7.5$

• La mitjana aritmètica de $-2,0,4,-5,9$ és

  ${\overline {x}}={\dfrac {-2+0+4-5+9}{5}}={\dfrac {6}{5}}=1.2$

Moda

La moda d'una sèrie de dades es defineix com aquella dada (o dades) que tengui major freqüència. Hi pot haver diverses dades que tenguin la màxima freqüència.

Es denota per Mo

Exemples

• La moda de $1,5,6,3,6,3,5,2,5$ és 5 perquè és la dada amb major freqüència.

Explicació 

Les freqüències de cada dada són: 1 apareix 1 vegada. 2 apareix 1 vegada. 3 apareix 2 vegades. 5 apareix 3 vegades. 6 apareix 2 vegades. La freqüència màxima és 3 i correspon al 5. Per tant, la moda és 5.

• La moda de $5,1,4,3,1,2,6,6,7,1,2,6,5,7,6,1$ és 1 i 6 perquè són les dades amb major freqüència. Té dues modes.

Explicació 

Les freqüències de cada dada són: 1 apareix 4 vegades. 2 apareix 2 vegades. 3 apareix 1 vegada. 4 apareix 1 vegada. 5 apareix 2 vegades. 6 apareix 4 vegades. 7 apareix 2 vegades. La freqüència màxima és 4 i correspon a les dades 1 i 6. Per tant, la moda és 1 i 6.

Mediana

La mediana d'una sèrie de dades es defineix com la dada que ocupa la posició central una vegada que s'han ordenat les dades en ordre creixent.

• En el cas que el nombre de dades sigui imparell, hi haurà un valor central i s'agafarà com la mediana.
• En l'altre cas, nombre de dades parell, no hi haurà aquest únic valor central, sinó que n'hi haurà dos. La semisuma d'aquests dos valors s'agafarà com la mediana.

D'aquesta definió es dedueix que la mediana és un valor major que el 50% de les dades i menor que l'altre 50%.

La mediana es denota per Me. Aquest valor pot correspondre a una dada de la sèrie o no, depenent de si la sèrie té un nombre imparell de dades o parell, respectivament.

Exemples

• La mediana de 5,7,3,8,8,4,8 és 7 perquè quan s'ordenen les dades, l'únic valor central és 7.

Explicació 

Les dades ordenades són 3,4,5,7,8,8,8. Com que hi ha 7 dades, nombre imparell, hi haurà un únic valor central, situat a la posició 4. En aquesta posició hi ha el 7. Per tant, la mediana d'aquesta sèrie és 7.

• La mediana de 5,1,4,3,1,2,6,6,7,1,2,6,5,7,6,1 és 4.5 perquè quan s'ordenen les dades, els dos valors centrals són 4 i 5, amb semisuma 4.5.

Explicació 

Les dades ordenades són 1,1,1,1,2,2,3,4,5,5,6,6,6,6,7,7. Com que hi ha 16 dades, nombre parell, hi haurà 2 valors centrals, situats als llocs 8 i 9. En aquestes posicions hi ha el 4 i el 5. Calculam la semisuma de 4 i 5, que és ${\dfrac {4+5}{2}}={\dfrac {9}{2}}=4.5$ Per tant, la mediana d'aquesta sèrie és 4.5

Vídeo explicatiu

En el vídeo següent s'expliquen els tres paràmetres de centralització:

• Mitjana aritmètica. En castellà "media" o "promedio".
• Mediana. En castellà també mediana.
• Moda. En castellà també moda.

https://www.youtube.com/watch?v=0DA7Wtz1ddg