Matemàtiques 4t A

Nombres complexos

Atès que hi ha moltes equacions, com ara x2 = −4 o x2 − 3x + 10 = 0, que no tenen solució en el conjunt dels nombres reals R, ens interessa trobar un conjunt de nombres que inclogui R i uns nombres nous que facin que aquestes equacions es puguin resoldre. Una d’aquestes equacions que no tenen solucions reals és x2 = −1. El motiu és que les solucions haurien de ser x = ±√−1 i l’arrel quadrada de −1 no existeix dins R. Per tant, √−1 formaria part del conjunt nou cercat; d’ara endavant, representarem aquesta √−1 pel símbol i. D’aquesta forma, qualsevol arrel quadrada d’un nombre real negatiu es pot expressar en funció d’aquesta i: per exemple, √−9 = p(−1) · 9 = √9 · √−1 = 3·i Ara bé, aquest conjunt de nombres que cercam ha de tenir operacions que estenguin la suma i el producte que hi ha en R i per tant haurà de contenir elements formats per sumes i productes d’elements de R amb el nou element i. Tots aquests elements seran de la forma a+b·i, on a i b s´on nombres reals. Anomenarem aquestes expressions a+b·i, amb a, b ∈ R, nombres complexos i indicarem amb C el conjunt de tots aquests nombres complexos: C = {a + b·i | a, b ∈ R}. Donat un nombre complex z = a+b·i, direm que a ´es la part real i b la part imaginària de z, i ho indicarem escrivint a = Re(z) i b = Im(z). Dos nombres complexos són iguals si tenen la mateixa part real i la mateixa part imaginària. Els nombres reals serien els nombres complexos que tenen la part imaginària 0, per exemple 2 = 2 + 0·i. Dins C hi tenim unes operacions de suma i producte que s’efectuen com si operàssim amb nombres reals i la i fos un nombre real més, amb l’única particularitat que el seu quadrat és −1. Aquí teniu dos exemples de sumes de nombres complexos: (3 − 2i) + (4 + 5i) = 3 − 2i + 4 + 5i = (3 + 4) + (−2 + 5)i = 7 + 3i

La suma

De forma general, la suma i el producte de nombres complexos es defineixen de la manera següent:

(a + b·i) + (c + d·i) = (a + c) + (b + d)·i. Així ´es com hem efectuat les sumes als exemples anteriors. Aquesta suma: – És commutativa: per a tots z1, z2 ∈ C, es té que z1 + z2 = z2 + z1. – És associativa: per a tots z1, z2, z3 ∈ C, es té que z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3. – Té element neutre: És el nombre complex 0, és a dir, 0 + 0·i, perquè, per a tot a + b·i ∈ C, (a + b·i) + (0 + 0·i) = (a + 0) + (b + 0)·i = a + b·i. – Tot nombre complex admet un oposat, el qual sumat amb ell dóna 0: per a cada a + b·i ∈ C, el seu oposat és −a − b·i, perquè (a + b·i) + (−a − b·i) = 0. Com és usual, dins C, restar significa sumar l’oposat : (a + b·i) − (c + d·i) és el mateix que (a + b·i) + (−c − d·i).

Producte

(a + b·i) · (c + d·i) = ac + ad·i + cb·i + bd·i2 = (ac − bd) + (ad + cb)·i. Així és com hem efectuat els productes als exemples d’abans. A la pràctica, amb números concrets, ometrem sempre el símbol · que indica aquest producte. Aquest producte: – És commutatiu: per a tots z1, z2 ∈ C, es té que z1 · z2 = z2 · z1. – És associatiu: per a tots z1, z2, z3 ∈ C, es té que z1 · (z2 · z3) = (z1 · z2) · z3. 2 – Té element neutre: és el nombre complex 1, és a dir, 1+0·i, perquè z · 1 = z, per a tot z ∈ C. – Satisfà la propietat distributiva respecte de la suma: per a tots z1, z2, z3 ∈ C, es té que z1 · (z2 + z3) = (z1 · z2) + (z1 · z3). – Tot nombre complex diferent de 0 admet un invers, el qual multiplicat per ell dóna 1. Per a cada a+b·i ∈ C, el seu invers respecte del producte seria 1 a+b · i . Intentem posar 1 a+b · i en la forma c + d·i. Primer ho farem amb un exemple: cercarem 1 2+3i . Per fer això hem de tenir en compte que i és l’arrel quadrada de −1, i per tant 1 2 + 3i = 1 2 + 3√−1 . Llavors, el que volem és llevar l’arrel quadrada del denominador, i ho farem racionalitzant de la manera usual: 1 2 + 3i = 1 2 + 3√−1 = 2 − 3√−1 (2 + 3√−1)(2 − 3√−1) = 2 − 3i 22 − 32(√−1)2 = 2 − 3i 4 − 9 · (−1) = 2 − 3i 4 + 9 = 2 − 3i 13 = 2 13 − 3 13 i. En general, si a + b·i 6= 0 (és a dir, si a 6= 0 o b 6= 0), 1 a + b·i = a − b·i (a + b·i)(a − b·i) = a − b·i a2 − b2 ·i2 = a − b·i a2 + b2 = a a2 + b2 − b a2 + b2 ·i. Per consegüent, C amb aquestes operacions de suma i producte és un cos commu- tatiu que inclou R. Observem que quan restringim la suma i el producte de nombres complexos a nombres reals (interpretats com a nombres complexos amb part imaginària 0) obtenim les operacions usuals dins R: (a + 0i) + (b + 0i) = a + b, (a + 0i) · (b + 0i) = a · b. A més, si calculem l’invers d’un nombre real a 6= 0 dins C, obtenim el seu invers dins R: 1 a + 0i = a a2 + 02 − 0 a2 + 02 ·i = 1 a .

la conjugació

Donat z = a + b·i ∈ C, el seu conjugat és z = a − b·i. Per exemple, 2 + 3i = 2 − 3i, 3 − 5i = 3 + 5i. Notem que el conjugat d’un nombre real torna a ser ell mateix, a = a + 0i = a − 0i = a, Es té que, per a cada z ∈ C, z + z = 2Re(z) i z − z = 2Im(z)·i. (En efecte, si z = a+b·i, aleshores z+z = (a+b·i)+(a−b·i) = 2a i z−z = (a+b·i)−(a−b·i) = 2b·i.) La conjugació preserva la suma i el producte: z1 + z2 = z1 + z2 i z1 · z2 = z1 · z2

La divisió

Si c + d·i 6= 0, aleshores a + b·i c + d·i = (a + b·i) · (c − d·i) (c + d·i) · (c − d·i) = (ac + bd) + (bc − ad)·i c2 + d2 = ac + bd c2 + d2 + bc − ad c2 + d2 ·i. Observeu que, tal com hem fet quan cercàvem l’invers d’un nombre complex, el que fem és racionalitzar. Us recomanam que no us aprengueu de memòria la fórmula de la divisió, sinó més haviat el procediment d’efectuar divisions tot multiplicant el numerador i el denominador pel conjugat del denominador. Aquest consell val en general en matemàtiques: és molt millor aprendre els processos que no fórmules rònegues. Així, per exemple, 2 + 3i √2 − i = (2 + 3i)(√2 + i) (√2 − i)(√2 + i) = (2√2 − 3) + (2 + 3√2)i 2 + 1 = 2√2 − 3 3 + 2 + 3√2 3 i (2 + 3i)−1 = 1 2 + 3i = 2 − 3i (2 + 3i)(2 − 3i) = 2 − 3i 4 + 9 = 2 13 − 3 13 i. Aquesta divisió, restringida als nombres reals, dóna la divisió entre nombres reals: si b 6= 0, a b = a + 0·i b + 0·i . El fet que C sigui un cos commutatiu permet que tot el que puguem fer amb nombres reals que només depengui de les operacions, i en particular que no involucri la seva ordenació, també ho puguem fer amb nombres complexos. Així, per exemple, atès que la fórmula per resoldre les equacions polinòmiques de segon grau és vàlida a tots els cossos commutatius, en particular ho és a C. I llavors, si l’aplicam, per exemple, a l’equació x2 − 3x + 10 = 0, obtenim que les seves solucions són 3 ± √−31 2 = 3 ±p31(−1) 2 = 3 ± √31 · √−1 2 = 3 ± √31·i 2 = 3 2 ± √31 2 i. És immediat convèncer-se que tota equació de segon grau que no té solució dins R en té dins C: el motiu per no tenir solucions reals ´es que a les solucions hi surten arrels quadrades de nombres negatius, i els nombres complexos s’han introduït precisament per suplir aquestes arrels quadrades de nombres negatius. (Més en general, la propietat fonamental dels nombres complexos és l’anomenat Teorema fonamen- tal de l’àlgebra: tot polinomi amb coeficients reals de grau n té exactament n arrels (comptades amb les seves multiplicitats) dins C. És a dir, els nombres complexos no només forneixen solucions de les equacions polinòmiques de segon grau amb coeficients reals que no tinguin solucions reals, sinó de totes les equacions polinòmiques amb coeficients reals. Ara bé, com comentam al final de les notes sobre resolució d’equacions polinòmiques, no sempre sabem trobar-les!) De manera similar, l’algorisme de Ruffini és vàlid a tots els cossos commutatius, i per tant també el podem emprar a C per dividir polinomis arbitraris entre polinomis de grau 1. Vegem-ne un exemple senzill.

Exemple 1. Volem dividir 2x4 − 6x2 − 1 entre x − (1 + i) Procedim segons l’algorisme de Ruffini:

1. Escrivim la taula on operarem

2. Escrivim el 2 de la primera columna sota la l´ınia

3. El multiplicam per 1 + i, escrivim el resultat a la columna següent sobre la línia, li sumam el nombre que té al damunt i escrivim el resultat sota la línia Fins que ja no podem continuar. Per tant, el quocient d’aquesta divisió és 2x3 + (2 + 2i)x2 + (−6 + 4i)x − (10 + 2i) i el romanent −9 − 12i. Es poden resoldre els sistemes d’equacions lineals amb coeficients complexos exactament igual que quan els coeficients són reals. Exemple 2. Volem resoldre el sistema de dues equacions amb dues incògnites

(1 + i)x + 3y = (3 + i)

                     }

(2 − i)x + iy = 5

Si multiplicam la primera equació per 2−i i la segona per 1+i, la x tindrà el mateix coeficient a les dues equacions:

(2 − i)(1 + i)x + (2 − i)3y = (2 − i)(3 + i)

                                          }=⇒                                                                                   

(1 + i)(2 − i)x + (1 + i)iy = (1 + i)5

(3 + i)x + (6 − 3i)y = 7 − i

                             }

(3 + i)x + (−1 + i)y = 5 + 5i

Si ara restem de la primera equació la segona obtenim

(7 − 4i)y = 2 − 6i

                            }

(3 + i)x + (−1 + i)y = 5 + 5i