Matemàtiques (Prova d'accés a cicles formatius de grau superior)/Nombres complexos

Nombres complexos

---

Trigonometria         Vectors al pla

---

del llibre Matemàtiques (Prova d'accés a cicles formatius de grau superior)

En el primer capítol s'han anat estudiant diferents conjunts de nombres. Els nombres enters apareixien en ampliar els naturals per fer-los tancats respecte de la resta, és a dir en fer que la resta de dos nombres tingui sempre un resultat. Els nombres racionals apareixien en ampliar ens enters per fer-los tancats respecte de la divisió, és a dir que la divisió de dos nombres enters tingui resultat sempre tret que el denominador sigui zero.

Aquest camí es va abandonar en ampliar el conjunt dels nombres racionals vers els reals, en comptes de fer-los tancats respecte d'una operació es va fer que les successions de Cauchy tinguin límit. Es podria dir que són tancats respecte de l'operació de calcul del límit de les successions de Cauchy.

En la construcció dels nombres complexos es torna al camí original d'ampliar el conjunt de nombres a base de fer-los tancats respecte d'una operació aritmètica.

La operació de potenciació és tancada en el conjunt dels nombres reals, tot nombre real elevat a un altre dóna un nombre real tret del zero elevat a zero. Però la seva inversa no, no sempre existeix un nombre tal que elevat a un nombre real en doni un altre. Per exemple no hi ha cap nombre real que elevat a 2 doni -1.

Els nombres complexos es construeixen ampliant el conjunt dels nombres reals. Es crea un nou nombre anomenat unitat imaginària que es representa per i (en electrotècnia es representa per j per no confondre'l amb la intensitat del corrent elèctric). A aquesta unitat imaginària se li assigna la propietat de que i² = -1. Això fa que el nombre -1 tingui inversa respecte de la elevació al quadrat. Perquè el nou conjunt continuï sent tancat respecte del producte, el resultat de multiplicar qualsevol nombre real per aquest nou nombre, també ha de pertànyer al conjunt. Perquè continuï sent tancat respecte de la suma, el resultat de sumar qualsevol nombre real a qualsevol dels nombres anteriors també hi ha de pertànyer. Per començar el conjunt dels nombres complexos ha de contenir tot nombre de la forma:

$\,z=a+bi$

on a i b són nombres reals i i és la unitat imaginaria. Del nombre a es diu que és la part real de z i del nombre b es diu que és la part imaginària.

Els nombres complexos tals que a és zero es diuen imaginaris purs

Fins aquí queda clar que a l'arrel dels nombres negatius se li pot assignar resultat de forma natural en el conjunt dels nombres complexos:

${\sqrt {-n}}={\sqrt {-1\cdot n}}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {n}}=i\cdot {\sqrt {n}}$

però no està clar encara si l'arrel de qualsevol nombre d'aquesta forma és un nombre d'aquesta forma i per tant tots els nombres complexos són d'aquesta forma. Tampoc està del tot clar si aquests nombres continuen sent tancats respecte de la resta i la divisió. De fet en el càlcul d'arrels quadrades dels nombres positius, hi ha sempre dues solucions. En el cas dels nombres complexos cal determinar quantes solucions hi ha i en quins casos. Tot això s'estudia en l'apartat de operacions amb nombres complexos i s'acaba de aclarir en l'apartat de operacions amb nombres complexos en notació polar.

Operacions amb nombres complexos

De moment està clar que els nombres de la forma:

$\,z=a+bi$

són nombres complexos, encara no està clar si tots els nombres complexos són d'aquesta forma. Primer cal definir com es fan les operacions amb nombres d'aquesta forma i després comprovar si sempre es pot trobar l'arrel d'un nombre d'aquesta forma. Si es pot llavors amb aquests nombres n'hi ha prou, si no es pugues caldria afegir nous nombres per forçar que el càlcul de l'arrel de qualsevol nombre tingui solució.

Per tant el primer pas serà veure com s'han d'estendre les operacions aritmètiques a aquests nombres de forma que es conservin les propietats de les operacions.

Suma de nombres complexos

Perquè les operacions de suma i producte conservin les propietats commutativa i associativa, cal acceptar que:

${\begin{aligned}z+{z}'&=\left(a+b\cdot i\right)+\left({a}'+{b}'\cdot i\right)\\&=a+b\cdot i+{a}'+{b}'\cdot i\\&=a+{a}'+b\cdot i+{b}'\cdot i\\&=\left(a+{a}'\right)+\left(b\cdot i+{b}'\cdot i\right)\\&=\left(a+{a}'\right)+\left(b+{b}'\right)\cdot i\\\end{aligned}}$

Per tant el resultat de dos nombres d'aquest tipus és un nombre del mateix tipus que tal que la seva part real és la suma de les parts reals i la seva part imaginària és la suma de les parts imaginàries.

Resta de nombres complexos

Perquè la resta sigui la operació oposada de la suma ha de ser:

$z+{z}'={{z}'}'\Leftrightarrow {{z}'}'-z={z}'$

A partir de la definició de suma, això és el mateix que:

$\left(a+{a}'\right)+\left(b+{b}'\right)\cdot i=\left({{a}'}'+{{b}'}'\cdot i\right)\Leftrightarrow \left({{a}'}'+{{b}'}'\cdot i\right)-\left(a+b\cdot i\right)=\left({a}'+{b}'\cdot i\right)$

Per tant:

$\left\{{\begin{matrix}a+{a}'={{a}'}'\Leftrightarrow {{a}'}'-a={a}'\\b+{b}'={{b}'}'\Leftrightarrow {{b}'}'-b=b'\\\end{matrix}}\right.$

és a dir per restar dos nombres d'aquest tipus la part real del resultat és la resta de les parts reals i la part imaginària és la resta de les parts imaginàries:

$\left({{a}'}'+{{b}'}'\cdot i\right)-\left(a+b\cdot i\right)=\left(\left[{{a}'}'-a\right]+\left[{{b}'}'-b\right]\cdot i\right)$

D'aquesta manera l'oposat d'un nombre d'aquests és un altre tal que la part real i la part imaginària tenen signe canviat:

$-\left(a+b\cdot i\right)=\left(\left[-a\right]+\left[-b\right]\cdot i\right)$

Al sumar un nombre amb el seu oposat dóna:

$\left(a+b\cdot i\right)+\left(\left[-a\right]+\left[-b\right]\cdot i\right)=0+0\cdot i$

que cal interpretar com 0:

$0+0\cdot i\equiv 0$

Multiplicació de nombres complexos

Per tal que es conservin les propietats commutativa i distributiva i acceptant la propietat establerta per definició de que i² = -1 en multiplicar dos nombres d'aquesta forma s'ha d'acceptar que:

${\begin{aligned}z\cdot {z}'&=\left(a+b\cdot i\right)\cdot \left({a}'+{b}'\cdot i\right)\\&=a\cdot \left({a}'+{b}'\cdot i\right)+b\cdot i\cdot \left({a}'+{b}'\cdot i\right)\\&=a\cdot {a}'+a\cdot {b}'\cdot i+b\cdot i\cdot {a}'+b\cdot i\cdot {b}'\cdot i\\&=a\cdot {a}'+a\cdot {b}'\cdot i+b\cdot {a}'\cdot i+b\cdot {b}'\cdot i^{2}\\&=a\cdot {a}'+a\cdot {b}'\cdot i+{a}'\cdot b\cdot i-b\cdot {b}'\\&=\left(a\cdot {a}'-b\cdot {b}'\right)+\left(a\cdot {b}'+{a}'\cdot b\right)\cdot i\\\end{aligned}}$

Per tant el resultat del producte té per part real el resultat de restar del producte de les parts reals el producte de les parts imaginàries i té per part imaginaria el resultat de sumar el producte de la prat real del primer per la part imaginària del segon amb el producte de la part imaginària del primer per la part real del segon.

Divisió de nombres complexos

Un cop estesa la operació de multiplicació, es tracta de veure si sempre admet inversa. És a dir calcular la divisió de dos nombres:

${\frac {{{z}'}'}{{z}'}}=z$

És trobar un nombre z tal que:

$z\cdot {z}'={{z}'}'$

O el que és el mateix es tracta de veure si sempre hi ha solució per al sistema d'equacions:

$\left\{{\begin{matrix}a\cdot {a}'-b\cdot {b}'={{a}'}'\\a\cdot {b}'+{a}'\cdot b={{b}'}'\\\end{matrix}}\right.$

On a i b són les incògnites. Aplicant el mètode del pivot es troba:

${\begin{aligned}&\left\{{\begin{matrix}a-{\frac {b\cdot {b}'}{{a}'}}={\frac {{{a}'}'}{{a}'}}\\\left({a}'+{\frac {{b}'^{2}}{{a}'}}\right)\cdot b={{b}'}'-{\frac {{{a}'}'\cdot {b}'}{{a}'}}\\\end{matrix}}\right.\\&\left\{{\begin{matrix}a-{\frac {b\cdot {b}'}{{a}'}}={\frac {{{a}'}'}{{a}'}}\\{\frac {{a}'^{2}+{b}'^{2}}{{a}'}}\cdot b={\frac {{{b}'}'\cdot {a}'-{{a}'}'\cdot {b}'}{{a}'}}\\\end{matrix}}\right.\\&\left\{{\begin{matrix}a={\frac {{{a}'}'}{{a}'}}+{\frac {{{b}'}'\cdot {a}'-{{a}'}'\cdot {b}'}{{a}'^{2}+{b}'^{2}}}\cdot {\frac {{b}'}{{a}'}}\\b={\frac {{{b}'}'\cdot {a}'-{{a}'}'\cdot {b}'}{{a}'^{2}+{b}'^{2}}}\\\end{matrix}}\right.\\&\left\{{\begin{matrix}a={\frac {{{a}'}'\cdot \left({a}'^{2}+{b}'^{2}\right)+\left({{b}'}'\cdot {a}'-{{a}'}'\cdot {b}'\right)\cdot {b}'}{{a}'\cdot \left({a}'^{2}+{b}'^{2}\right)}}\\b={\frac {{{b}'}'\cdot {a}'-{{a}'}'\cdot {b}'}{{a}'^{2}+{b}'^{2}}}\\\end{matrix}}\right.\\&\left\{{\begin{matrix}a={\frac {{{a}'}'\cdot {a}'^{2}+{{a}'}'\cdot {b}'^{2}+{{b}'}'\cdot {a}'\cdot {b}'-{{a}'}'\cdot {b}'^{2}}{{a}'\left({a}'^{2}+{b}'^{2}\right)}}\\b={\frac {{{b}'}'\cdot {a}'-{{a}'}'\cdot {b}'}{{a}'^{2}+{b}'^{2}}}\\\end{matrix}}\right.\\&\left\{{\begin{matrix}a={\frac {{{a}'}'\cdot {a}'^{2}+{{b}'}'\cdot {a}'{b}'}{{a}'\left({a}'^{2}+{b}'^{2}\right)}}\\b={\frac {{{b}'}'\cdot {a}'-{{a}'}'\cdot {b}'}{{a}'^{2}+{b}'^{2}}}\\\end{matrix}}\right.\\&\left\{{\begin{matrix}a={\frac {{{a}'}'\cdot {a}'+{{b}'}'\cdot {b}'}{{a}'^{2}+{b}'^{2}}}\\b={\frac {{{b}'}'\cdot {a}'-{{a}'}'\cdot {b}'}{{a}'^{2}+{b}'^{2}}}\\\end{matrix}}\right.\\\end{aligned}}$

Que té solució sempre tret que a' i b' siguin tots dos iguals a zero al mateix temps. Per tant la divisió té resultat sempre tret que el divisor sigui zero i per tant aquest conjunt de nombres és tancat respecte de la divisió.

Un altre forma d'arribar al mateix resultat és plantejar:

${\frac {{{z}'}'}{{z}'}}={\frac {{{a}'}'+{{b}'}'\cdot i}{{a}'+{b}'\cdot i}}$

I multiplicar el numerador i el denominador per ${a}'-{b}'\cdot i$, d'aquesta manera operant s'obté:

${\begin{aligned}{\frac {{{z}'}'}{{z}'}}&={\frac {{{a}'}'+{{b}'}'\cdot i}{{a}'+{b}'\cdot i}}\cdot {\frac {{a}'-{b}'\cdot i}{{a}'-{b}'\cdot i}}\\&={\frac {\left({{a}'}'+{{b}'}'\cdot i\right)\cdot \left({a}'-{b}'\cdot i\right)}{{a}'^{2}+{b}'^{2}}}\\&={\frac {{{a}'}'\cdot {a}'-{{a}'}'\cdot {b}'\cdot i+{{b}'}'\cdot {a}'\cdot i+{{b}'}'\cdot {b}'}{{a}'^{2}+{b}'^{2}}}\\&={\frac {\left({{a}'}'\cdot {a}'+{{b}'}'\cdot {b}'\right)+\left({{b}'}'\cdot {a}'-{{a}'}'\cdot {b}'\right)\cdot i}{{a}'^{2}+{b}'^{2}}}\\&={\frac {{{a}'}'\cdot {a}'+{{b}'}'\cdot {b}'}{{a}'^{2}+{b}'^{2}}}+{\frac {{{b}'}'\cdot {a}'-{{a}'}'\cdot {b}'}{{a}'^{2}+{b}'^{2}}}\cdot i\\\end{aligned}}$

Relació entre els nombres complexos i la trigonometria

La relació entre els nombres complexos i la trigonometria es veu en observar la similitud entre les expressions de les funcions trigonomètriques de la suma d'angles i les del producte de nombres complexos:

${\begin{aligned}&\cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \left(\beta \right)\cdot \cos \left(\alpha \right)-\sin \left(\beta \right)\cdot \sin \left(\alpha \right)\\&\sin \left(\alpha +\beta \right)=\sin \left(\alpha \right)\cdot \cos \left(\beta \right)+\cos \left(\alpha \right)\cdot \sin \left(\beta \right)\\&\\&R\left(z\cdot {z}'\right)=R\left(z'\right)\cdot R\left(z\right)-I\left(z'\right)\cdot I\left(z\right)\\&I\left(z\cdot {z}'\right)=I\left(z\right)\cdot R\left({{z}'}\right)+I\left(z\right)\cdot I\left({{z}'}\right)\\\end{aligned}}$

On R (z) vol dir la part real de z i I(z) vol dir la pat imaginària de z.

Hi ha però una diferència. Mentre que el sinus i el cosinus prenen sempre valors entre -1 i 1 les parts reals i les parts imaginàries dels nombres complexos prenen valors entre -∞ i +∞.

L'arrel d'aquesta diferència es fa evident en comparar les fórmules de la resta d'angles amb les de la divisió de nombres complexos:

${\begin{aligned}&\cos \left(\alpha -\beta \right)=\cos \left(\alpha \right)\cos \left(\beta \right)+\sin \left(\alpha \right)\sin \left(\beta \right)\\&\sin \left(\alpha -\beta \right)=\sin \left(\alpha \right)\cos \left(\beta \right)-\cos \left(\alpha \right)\sin \left(\beta \right)\\&\\&R\left({z}/{{z}'}\;\right)={\frac {R\left(z\right)R\left({{z}'}\right)+I\left(z\right)I\left({{z}'}\right)}{R\left({{z}'}\right)^{2}+I\left({{z}'}\right)^{2}}}\\&I\left({z}/{{z}'}\;\right)={\frac {I\left(z\right)R\left({{z}'}\right)+R\left(z\right)I\left({{z}'}\right)}{R\left({{z}'}\right)^{2}+I\left({{z}'}\right)^{2}}}\\\end{aligned}}$

En el cas particular dels nombres complexos en què es compleixi la condició de que la suma del quadrat de la part real més el quadrat de la part imaginària sigui igual a 1, el paral·lelisme entre les fórmules de la resta d'angles i la divisió de complexos és total. A demés en aquest cas particular tant la part real com la part imaginària són sempre entre -1 i 1 i per tant també desapareix la diferència que hi havia en el cas anterior.

El següent pas és aconseguir que qualsevol nombre complex es pugui escriure com el resultat de multiplicar un nombre real i un altre nombre complex que compleixi aquesta condició. El nombre en qüestió s'anomenarà mòdul del complex i s'escriurà M (z).

Es tracta de trobar:

$z=a+b\cdot i=M\left(z\right)\cdot \left({a}'+{b}'\cdot i\right)$

De forma que:

${a}'^{2}+{b}'^{2}=1\,$

Però com que:

$\left\{{\begin{matrix}a=M\left(z\right)\cdot {a}'\\b=M\left(z\right)\cdot {b}'\\\end{matrix}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}{a}'={\frac {a}{M\left(z\right)}}\\{b}'={\frac {b}{M\left(z\right)}}\\\end{matrix}}\right.$

Per tant:

${\begin{aligned}{a}'^{2}+{b}'^{2}&=\left({\frac {a}{M\left(z\right)}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{M\left(z\right)}}\right)^{2}\\&={\frac {a^{2}+b^{2}}{M\left(z\right)^{2}}}\\\end{aligned}}$

Imposant que a' ² + b' ² = 1 s'bté que M (z) ha de ser:

${\begin{aligned}1&={\frac {a^{2}+b^{2}}{M\left(z\right)^{2}}}\\M\left(z\right)^{2}&=a^{2}+b^{2}\\M\left(z\right)&={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\\\end{aligned}}$

Per tant:

Identificació d'un nombre complex amb un punt del pla.

$z=a+b\cdot i={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \left({\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\cdot i\right)$

Ara es pot identificar el nombre complex ${a}'+{b}'\cdot i$ amb el punt de la circumferència goniomètrica tal que el seu cosinus val a i el seu sinus b. Això suggereix identificar tots els nombres complexos amb punts d'un pla anomenat el pla complex. El procés és el següent: Es dibuixen dues rectes perpendiculars. El punt on es tallen s'identifica amb el 0 (zero), una de les rectes es fa servir per representar la part real i l'altre per representar la part imaginària. El punt que s'assigna a cada nombre complex és aquell en que es tallen una paral·lela a la recta que representa la part real traçada pel punt que representa l apart imaginària amb una paral·lela a la recta que representa la part imaginària traçada pel punt que representa la part real. Normalment la línia horitzontal es fa servir per representar la part real amb la semirecta dreta pels nombres positius i la línia vertical per la part imaginària amb la semirecta cap amunt per representar els nombres positius. A la figura de la dreta es representa aquesta idea.

Fent aquesta identificació el producte i el quocient de nombres complexos agafen un significat geomètric. Si es multipliquen dons nombres de mòdul 1 el resultat és un altre nombre complex que té un angle igual a la suma d'angles mentre que si es divideixen el resultat té un angle igual al resultat de restar del numerador l'angle del denominador. Si els nombres no tenen módul 1 llavors es poden escriure com a producte el seu mòdul per un nombre complex que té mòdul 1. El resultat de multiplicar-los tindrà per mòdul el producte de mòduls i estarà multiplicat per un nombre complex de mòdul 1 que tindrà per angle la suma d'angles. En dividir-los el resultat tindrà un mòdul que serà el resultat de dividir els mòduls i estarà multiplicat per un complex de mòdul 1 que tindrà per angle la resta d'angles.

Notació dels nombres complexos

La relació entre els nombres complexos i les funcions trigonomètriques que s'ha vist abans permet identificar de forma natural cada nombre complex amb un punt en el pla i permet obtenir un significat geomètric de les operacions de multiplicar i dividir nombres complexos.

Aquesta identificació permet que a l'hora de notar els nombres complexos es puguin fer servir qualsevol de les notacions adequades per identificar els punts d'un pla.

Notació cartesiana

Fig. 1 – Sistema de coordenades cartesianes. S'han assenyalat quatre punts: (2,3) en verd, (-3,1) en vermell, (-1.5,-2.5) en blau i (0,0), l'origen, en groc.

El Sistema de coordenades cartesianes (anomenat també sistema de coordenades rectangulars) es fa servir per a determinar unívocament cada punt del pla a través de dos nombres reals anomenats habitualment la coordenada x o abscissa i la coordenada y o ordenada del punt. Per a definir les coordenades, s'especifiquen dues rectes perpendiculars (leix x, i leix y) a cada una de les quals s'assigna una direcció considerada positiva o creixent, així com la unitat de longitud, que es marca als dos eixos (vegeu Figura 1).

En el cas dels nombres complexos per representar-los en notació cartesiana s'identifica l' eix y amb la part imaginària i l' eix x amb la part real. Llavors la notació cartesiana dels nombres complexos coincideix amb la que s'ha emprat fins ara:

$z=a+b\cdot i$

Nombre complex representat en notació cartesiana i polar.

Notació Polar

En el sistema de coordenades polars cada punt del pla està determinat per un angle i una distància.

Cada punt ve determinat per dues coordenades polars: la coordenada radial i la coordenada angular. La coordenada radial (normalment denotada per r ) denota la distància del punt al punt central (conegut com pol i equivalent a l'origen en el sistema cartesià). La coordenada angular (també anomenada angle polar o angle azimutal, i normalment denotat per Φ) denota l'angle positiu (o angle mesurat en sentit antihorari) per arribar al punt a partir de l'eix polar o radi de 0 ° (que és equivalent a l'eix x positiu en les coordenades cartesianes).

• Pas de cartesiana a polar (part real no negativa):

A partir del Teorema de Pitàgoras es pot afirmar:

$\mathbf {r} ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Això aclareix el significat geomètric del mòdul del nombre complex: és igual a la coordenada radial en notació polar.

I sabent que el quocient entre el catet oposat i el catet contigu d'un angle ${\mathbf {\phi } }$ és la tangent d'aquest angle, es te:

$\tan {\mathbf {\phi } }={\frac {\mathbf {b} }{\mathbf {a} }}$

L'arctangent retorna angles entre —180 ° i 180 °, per tant per a complexos amb part real positiva l'angle es calcula com:

$\mathbf {\phi } =\arctan {\frac {\mathbf {b} }{\mathbf {a} }}$

Si el complex té part real negativa es transforma en un complex de part real positiva prenent —1 $(-1=1_{180^{o}})$ com a factor comú. $\mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot i=-1\cdot (-\mathbf {a} -\mathbf {b} \cdot i)$. L'angle s'obté com:

$\mathbf {\phi } =180^{o}+\arctan {\frac {-\mathbf {b} }{-\mathbf {a} }}=180^{o}+\arctan {\frac {\mathbf {b} }{\mathbf {a} }}$

En la representació polar, un complex pren la forma: $\mathbf {r_{\phi }}$, on $\mathbf {r}$ és el mòdul del nombre complex, i $\mathbf {\phi }$ és l'angle del complex.

• Pas de polar a cartesiana

$\mathbf {a} =\mathbf {r} \cdot \cos \mathbf {\phi }$

$\mathbf {b} =\mathbf {r} \cdot \sin \mathbf {\phi }$

Operacions amb nombres complexos en notació polar

Tal com s'ha vist en la relació entre els nombres complexos i la trigonometria, la multiplicació i la divisió és més senzilla en notació polar. En resum:

${\begin{aligned}&r_{\Phi }\cdot {r}'{}_{{\Phi }'}=\left(r\cdot {r}'\right)_{\left(\Phi +{\Phi }'\right)}\\&{\frac {r_{\Phi }}{{r}'{}_{{\Phi }'}}}=\left({\frac {r}{{r}'}}\right)_{\left(\Phi -\Phi '\right)}\\\end{aligned}}$

Això facilita molt els càlculs de potències i arrels:

$\left(r_{\Phi }\right)^{n}=r_{\Phi }\cdot r_{\Phi }\cdots \cdot r_{\Phi }=\left(r^{n}\right)_{n\cdot \Phi }$

Seguint el mateix raonament que es va fer amb els nombres reals s'arriba a la conclusió de que aquesta f´ormula no només és vàlida per exponents naturals sinó que també val per exponents reals. EL cas d'exponents complexos es veuran més endavant. (((Pendent expoenents compelexos ....))))

Pel cas de les arrels enèsimes, es tracta de trobar un complex que elevat a n dóni el nombre complex en qüestió:

${\sqrt[{n}]{r_{\Phi }}}={r}'{}_{{\Phi }'}\Leftrightarrow \left({r}'{}_{{\Phi }'}\right)^{n}=r_{\Phi }$

Per tant es planteja el següent sistema d'equacions:

$\left\{{\begin{aligned}&{r}'^{n}=r\\&n\cdot {\Phi }'=\Phi \\\end{aligned}}\right.$

A primer cop d'ull pot semblar que només hi ha aquesta solució:

$\left\{{\begin{matrix}r'={\sqrt[{n}]{r}}\\{\Phi }'={\frac {\Phi }{n}}\\\end{matrix}}\right.$

Però fixeu-vos que si se li suma una volta sencera a un angle es torna al mateix punt, per tant també són solucions:

${\Phi }'={\frac {\Phi }{n}},{\frac {\Phi +2\pi }{n}},{\frac {\Phi +2\cdot 2\pi }{n}},{\frac {\Phi +3\cdot 2\pi }{n}}\cdots ,{\frac {\Phi +\left(n-1\right)\cdot 2\pi }{n}}$

Per tant tot complex té n arrels enèsimes tret del zero que només en té una.

Ara ja es veu que el conjunt dels nombres de la forma $z=a+b\cdot i$ no només tenen solució per la arrel d'un nombre negatiu sinó que tenen solució per la arrel de qualsevol nombre d'aquesta forma, és a dir són tancats respecte de les arrels, per tant són tots els nombres que cal per fer els nombres complexos.

Teorema fonamental del àlgebra

El càlcul de la arrel n d'un nombre complex a₀ es pot interpretar com la solució del problema de trobar una arrel del polinomi:

$P\left(z\right)=z^{n}+\left(-a_{0}\right)$

Aquest polinomi no sempre té arrels reals (per exemple si n = 2 i a₀ = -1 ) però s'ha vist que sempre té arrels complexes. De fet es pot afirmar que els nombres complexos s'han construït ampliant-los partir dels nombres reals per tal de garantir que siguin tancats respecte de l' operació de trobar una arrel d'aquests polinomis.

Això planteja la qüestió de si caldrà ampliar-los més per tal que també siguin tancats respecte de l' operació de trobar les arrels de qualsevol polinomi mònic:

$P(z)=z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{0}$

Observeu que passa si es pren un nombre complex de mòdul zero i es va fent créixer el mòdul, per a cada valor del mòdul es fa que l'angle recorri els valors des de zero fins a 2π.

Quan el mòdul de z és zero el resultat de la funció polinòmica és $a_{0}$.

Quan el mòdul és molt petit els monomis d'ordre més gran que a₁z es poden negligir en comparació amb a₁z i el valor del polinomi al variar l'angle de z entre zero i 2π correspon a punts del pla que donen una volta entorn al punt $a_{0}$.

Si $a_{0}$ és diferent de zero el punt (0,0i) queda fora del cercle. Si $a_{0}$ és zero el polinomi admet una arrel trivial x = 0.

Quan el mòdul és molt gran els monomis diferents de $z^{n}$ es poden negligir respecte d'aquest, per tant al variar l'angle entre 0 i 2π radiants la funció polinòmica pren valors que corresponen a punts del pla que descriuen pràcticament un cercle n cops entorn al punt (0,0i).

Per tant al escombrar d'aquesta forma el conjunt dels nombres complexos, el polinomi a pres valors que han passat de descriure un cercle on el punt (0,0i) en queda fora a descriure'n un on el punt (0,0i) en queda dins, per tant en algun punt ha de tocar (0,0i).

Aquest punt (diguem-ne $z_{0}$) és per tant una arrel del polinomi.

Dividint el polinomi per $(z-z_{0})$ s'obté un altre polinomi de grau n - 1 i el residu és zero (d'acord amb el teorema del residu).

Repetint el procés n - 1 cops més es poden trobar altres n - 1 arrels.

Per tant, tot polinomi de grau n amb coeficients en el cos dels nombres complexos té n arrels.

Aquesta afirmació es coneix amb el nom de teorema fonamental del àlgebra.

Necessitat dels nombres complexos

Quina necessitat hi ha d'inventar i emprar nombres complexos?

Històricament la primera vegada que es va trobar la necessitat de fer servir nombres complexos va ser com un objecte abstracte sense cap significat emprat com a resultat intermedi en la solució de les equacions de tercer grau. Això no entra en el temari però s'explicarà en un apèndix.

Els nombres complexos es fan servir en molts àmbits com ara la regulació automàtica o l'estudi de vibracions i oscil·lacions. El motiu pel qual es fan servir els nombres complexos en aquestes disciplines és per la relació que hi ha entre aquests nombres i el moviment de rotació.

Les lleis de la física relacionen les causes del moviment dels cossos o de les càrregues elèctriques amb la variació de la velocitat o la variació del corrent elèctric, això porta a plantejar unes equacions en les que les seves desconegudes no són nombres sinó les trajectòries que segueixen els cossos o els valors que prenen els corrents elèctrics al llarg del temps. La propietat que tenen els nombres complexos de transformar multiplicacions en sumes juntament amb altres propietats que s'explicaran al estudiar les funcions i les derivades fan que permetin transformar aquestes equacions en equacions on les desconegudes són nombres complexos.