Desenvolupament de fractals mitjançant el mètode de Mandelbrot
El mètode de Mandelbrot és un mètode dissenyat per a desenvolupar "objectes fractals" i que fou va ser creat per Benoît Mandelbrot a la dècada dels anys 70, mentre treballava a IBM.
Contingut
- 1 Bases generals del mètode
- 2 Z = Zm + C
- 3 Z = Z-m + C
- 4 Z = Zm + Cp
- 5 Z = Zp / (1 + Zq) + C
- 6 Z = Zm + Z + C
- 7 Z = Zm - Z + C
- 8 Z = Zm + 1/C
- 9 Z = ( Zm / Cm ) + C
- 10 Z = Zm + C + Cp + 1/ C + 1/ Cq
- 11 Z = Zm + polinomi de C
- 12 Z = Zm + polinomi mixt de C i Z
- 13 Més funcions de variable complexa
- 14 Fractals per iteració de Exp(Z)
- 14.1 Com a funció iterativa
- 14.2 Com a funció transformadora de C
- 14.3 Com a funció iterativa i transformadora de C, simultàniament
- 14.3.1 El cas de la funció Z = Exp[(Z2 + k * Z) / F(Cm)]
- 14.3.2 El cas de la funció Zn+1 = Exp(Zn / C m)
- 14.3.3 El cas de la funció Zn+1 = Exp(Zn / C m) + C p
- 14.3.4 El cas de la funció Zn+1 = Exp(Znp / C p)
- 14.3.5 El cas de la funció Zn+1 = Znq * Exp(Zn / C p) + C
- 14.3.6 El cas de la funció Zn+1 = Exp[ Zn2 / (C m + C p) ]
- 14.3.7 El cas de la funció Zn+1 = Znm * Exp[ Cos(Zn)] + 1/C
- 15 Fractals per iteració de Sin(Z)
- 16 Fractals per iteració de Cos(Z)
- 17 Fractals per iteració de SinH(Z)
- 18 Fractals per iteració de CosH(Z)
- 19 Fractals per iteració de combinacions de diferents funcions de Z o C
- 20 Més fractals segons el mètode de Mandelbrot
- 21 Bibliografia
- 22 Enllaços externs
Bases generals del mètode[modifica]
Consisteix en, per cada punt del pla complex C=(Cx,Ciy), iterar una funció arbitrària sumant en cada iteració aquest punt.
Així doncs : Fn+1(x,iy) = Fn(x,iy) + (Cx,Ciy)
Totes les iteracions parteixen dels punts x=0, iy=0, i quan la iteració convergeix s'acoloreix d'un color sòlid. La divergència a infinit és acolorida mitjançant un patró cromàtic progressiu.
El fractal derivat de la funció iterativa Z = Z2 + C s'anomena conjunt de Mandelbrot.
Z = Zm + C[modifica]
A continuació es mostra una sèrie de fractals iterant les diferents potències de Z = Zm + C, segons el mètode de Mandelbrot.
Exemples de fractals del tipus Mandelbrot: Z = Zm + C
Z = Z2 + C Conjunt de Mandelbrot
Z = Z3 + C 
Z = Z4 + C 
Z = Z5 + C 
Z = Z6 + C 
Z = Z7 + C 
Z = Z8 + C 
Z = Z9 + C 
Z = Z10 + C 
Z = Z11 + C 
Z = Z12 + C 
Z = Z12 + C
x 8
Z = Z20 + C 
Z = Z20 + C
x 10
Z = Z48 + C 
Z = Z48 + C
x 20
Z = Z96 + C 
Z = Z96 + C
x 40
Tal com es pot veure en els exemples representats, el nombre de lòbuls es L = m - 1
Un breu viatge a les profunditats del fractal de Mandelbrot Z = Z2 + C[modifica]
A continuació anem a endinsar-nos en el fractal clàssic de Mandelbrot, utilitzant el microscopi de molt elevada resolució que ens proporciona el càlcul iteratiu. Totes les ampliacions vénen precedides d'una imatge del fractal a escala 1:1 on podem apreciar la zona ampliada.
Ampliació zona 1[modifica]
Centre de coordenades : Cx = 0.291811, Cy = 0.0144686
x 1 
x 732
Ampliació zona 2[modifica]
Centre de coordenades : Cx = -0.165643411, Cy = 0.656685704
x 1 
x 3855
Ampliació zona 3[modifica]
Centre de coordenades : Cx = -0.755625, Cy = 0.06328125
x 1 
x 180
Ampliació zona 4[modifica]
Centre de coordenades : Cx = -0,1758752481899, Cy = 1,075392007
A continuació baixarem a gran profunditat, amb una ampliació de més de 2 milions i amb un nombre màxim de 6000 iteracions per pixel !
x 1 
x 2,369,369
Ampliació zona XX[modifica]
Centre de coordenades : Cx = 0,02816835288421, Cy = 0,63790834667330
Ara ens endinsarem en un lloc amb estranyes formes i colors, però a on podem apreciar perfectament les Formes del fractal de Mandelbrot ...
x 5,598
Z = Z-m + C[modifica]
Exemples de fractals del tipus de Mandelbrot, amb potències negatives de Z.
Z = Z-2 + C 
Z = Z-3 + C 
Z = Z-4 + C 
Z = Z-5 + C
Z = Zm + Cp[modifica]
Pero, què passa quan fem Z = Zm + Cp ?. Tal com podeu veure en els següents exemples, el nombre de lòbuls és L = (m - 1) * p
Z = Z2 + C2
L = (2 - 1)* 2 = 2
Z = Z2 + C3
L = (2 - 1)* 3 = 3
Z = Z2+C6 - 1
L = (2 - 1)* 6 = 6
Z = Z3 + C2
L = (3 - 1)* 2 = 4
Z = Z3 + C3
L = (3 - 1)* 3 = 6
Z = Z4 + C4
L = (4 - 1)* 4 = 12
Z = Zp / (1 + Zq) + C[modifica]
Z = Z2 / (1 + Z) + C 
Z = Z3 / (1 + Z2) + C 
Z = Z3 / (1 + Z) + C 
Z = Z3 / (1 + Z + Z2) + C 
Z = [(1 + Z) / Z2] + C
</center
%2BC_medium.jpg)
%2BC_medium.jpg)
%2BC_medium.jpg)
%2BC_medium.jpg)
_Z2%2BC_medium.jpg)
Z = Zm + Z + C[modifica]
A continuació es mostra una sèrie de fractals iterant les diferents potències de Z = Zm + Z + C, segons el mètode de Mandelbrot.
Z = Z2 + Z + C 
Z = Z3 + Z + C 
Z = Z4 + Z + C 
Z = Z9 + Z + C
Z = Zm - Z + C[modifica]
A continuació es mostra una sèrie de fractals iterant les diferents potències de Z = Zm - Z + C, segons el mètode de Mandelbrot.
Z = Z3 - Z + C 
Z = Z4 - Z + C 
Z = Z5 - Z + C 
Z = Z9 - Z + C
Z = Zm + 1/C[modifica]
També es pot transformar cada punt del pla complex, d'acord a una funció arbitrària, abans de ser adicionat a la funció iterativa, segons la següent equació Z = Zm + F(C) . Veiem que passa quan la transformació és del tipus: F(C) = 1 / C
Ejemples de fractals del tipus Mandelbrot: Z = Zm + 1/C, a on cada punt C del pla complex es transforma a 1/C, abans d'entrar en la iteració de la potència de Z.
Zo = (0,0i). El nombre de vèrtexs és V = (m - 1)
Z = Z2 + 1/C 
Z = Z3 + 1/C 
Z = Z4 + 1/C 
Z = Z5 + 1/C 
Z = Z6 + 1/C 
Z = Z7 + 1/C
Pero, què passa quan fem Z = Zm + (1 / C2) ?.
Doncs quelcom molt semblant, com podeu veure en els següents exemples, ara el nombre de vèrtexs és V = (m - 1) * p
Z = Z2 + 1 / C2
V = (2 - 1)* 2 = 2
Z = Z3 + 1 / C2
V = (3 - 1)* 2 = 4
Z = Z4 + 1 / C2
V = (4 - 1)* 2 = 6
Z = Z5 + 1 / C2
V = (5 - 1)* 2 = 8
Z = Z6 + 1 / C2
V = (6 - 1)* 2 = 10
Z = Z7 + 1 / C2
V = (7 - 1)* 2 = 12
Z = Z2 + 1 / C3
V = (2 - 1)* 3 = 3
Z = Z2 + 1 / (C3+1)
V = (2 - 1)* 3 = 3
Integrant en el mateix fractal una funció de C i la seva inversa Z = Zm + C .. i .. Z = Zm + 1/C[modifica]
La zona en color BLANC intens és l'àrea d'intersecció dels 2 sets.
Z = Z2 + 1 / C
Z = Z2 + C
Z = Z2 + 1 / C
Z = Z3 + C
Z = Z3 + 1 / C
Z = Z2 + C
Z = Z3 + 1 / C
Z = Z3 + C
Z = Z4 + 1 / C
Z = Z4 + C
Z = Z4 + 1 / C
Z = Z3 + C
Z = ( Zm / Cm ) + C[modifica]
Z = (Z4 / C4) + C 
Z = (Z8 / C8) + C
%2BC_medium.jpg)
%2BC_medium.jpg)
Z = Zm + C + Cp + 1/ C + 1/ Cq[modifica]
També podem afegir más sumants a la funció Zm, combinant C, Cm, 1/C y 1/Cp en grups de 2, 3 o 4, veiem que passa si agrupem C,C2, 1/C i 1/C2 en 2, 3 i 4 ..:
Z = Z2 + C + C2 
Z = Z + C + 1/C 
Z = Z2 + C + 1/C2 
Z = Z2 + C2+ 1/C 
Z = Z2 + C2 + 1/C2 
Z = Z2 + 1/C + 1/ C2
Z = Z2 + C + C2 + 1/C 
Z = Z2 + C + C2 + 1/C2 
Z = Z2 + C + 1/C + 1/C2 
Z = Z2 + C2 + 1/C + 1/C2 
Z = Z2 + C + C2 + 1/C + 1/C2
A continuació més combinacions amb altres exponents:
Z = Z2 + C + 1/ C3
Z = Zm + polinomi de C[modifica]
Z=Z2 + C /(C2+1) + C
Zo = (0,0i)
Z=Z2 + C /(C2-1)
Zo = (0,0i)
Z=Z2 + C2 /(C4 + 0.1)
Zo = (0,0i)
Z=Z2 + C2 / (C4 - 0.25)
Zo = (0,0i)
%2BC_medium.jpg)
_medium.jpg)
.jpg)
.jpg)
El cas de la funció: Z=Z2 + 1 /(Cm-1)[modifica]
Z=Z2 + 1 /(C2-1)
Zo = (0,0i)
Z=Z2 + 1 /(C3-1)
Zo = (0,0i)
Z=Z2 + 1 /(C4-1)
Zo = (0,0i)
_medium.jpg)
_medium.jpg)
_medium.jpg)
Z = Zm + polinomi mixt de C i Z[modifica]
Podem sumar a Zm polinomis mixtes de C i Z, veiem què passa:
Z = Z2 + C/ (Z2 + k)[modifica]
Z=Z2 + C / (Z2- 0.001)
Zo = (0,0i) x 1000
Z=Z2 + C / (Z2- 0.01)
Zo = (0,0i) x 100
Z=Z2 + C / (Z2- 0.1)
Zo = (0,0i) x 10
Z=Z2 + C / (Z2+ 0.1)
Zo = (0,0i) x 10
Z=Z2 + C / (Z2+ 0.01)
Zo = (0,0i) x 100
Z=Z2 + C / (Z2+ 0.001)
Zo = (0,0i) x 24,900
_medium.jpg)
_medium.jpg)
_medium.jpg)
_medium.jpg)
_medium.jpg)
_medium.jpg)
Z = Zm + Cp/Zq + C[modifica]
Z=Z2 + (C2 /Z2) + C
Zo = (0,0i) m=2, p=2,q=2
Z=Z2 + (C4 /Z2) + C
Zo = (0,0i) m=2,p=4,q=2
Z=Z2 + (C4 /Z4) + C
Zo = (0,0i) m=2, p=4,q=4
Z=Z2 + (C6 /Z6) + C
Zo = (0,0i) m=2, p=6,q=6
Z=Z4 + (C2 /Z4) + C
Zo = (0,0i) m=4, p=2,q=4
Z= [(Zm+C-1) / (m*Zm-1+C- m)]2[modifica]
Z= [(Z2+C-1) / (2*Z+C-2)]2
Zo = (0,0i) MAGNET
Z= [(Z2+C2-1) / (2*Z+C2 -2)]2
Zo = (0,0i)
Z= [(Z2+C3-1) / (2*Z+C3 -2)]2
Zo = (0,0i)
Z= [(Z3+C-1) / (3*Z2+C-3)]2
Zo = (0,0i)
Z= [(Z4+C-1) / (4*Z3+C-4)]2
Zo = (0,0i)
_(2XZ%2BC2-2))2_medium.jpg)
_(2XZ%2BC3-2))2_medium.jpg)
_(3XZ2%2BC-3))2_medium.jpg)
_(4XZ3%2BC-4))2_medium.jpg)
Z= [(Z + Cm-1) / Cm]2[modifica]
Z= [(Z + C -1) / C]2
Zo = (0,0i)
Z= [(Z + C2-1) / C2]2
Zo = (0,0i)
Z= [(Z + C3-1) / C3]2
Zo = (0,0i)
Z= [(Z + C4-1) / C4]2
Zo = (0,0i)
Z= [(Z + C5-1) / C5]2
Zo = (0,0i)
_(C%2B0))2_medium.jpg)
_(C2%2B0))2_medium.jpg)
_(C3%2B0))2_medium.jpg)
_(C4%2B0))2_medium.jpg)
_(C5))2_medium.jpg)
Z= [(Z + Cm-1) / Cm]3[modifica]
Z= [(Z + C -1) / C ]3
Zo = (0,0i)
Z= [(Z + C2-1) / C2]3
Zo = (0,0i)
Z= [(Z + C3-1) / C3]3
Zo = (0,0i)
_(C))3_medium.jpg)
_(C2))3_medium.jpg)
_(C3))3_medium.jpg)
Z= [(Z + Cm+1) / (Cm - 1)]2[modifica]
Z= [(Z + C +1) / (C -1]2
Zo = (0,0i)
Z= [(Z + C2 +1) / (C2 -1]2
Zo = (0,0i)
Z= [(Z + C3 +1) / (C3 -1)]2
Zo = (0,0i)
Z= [(Z + C4 +1) / (C4 -1)]2
Zo = (0,0i)
Z= [(Z + C5 +1) / (C5 -1)]2
Zo = (0,0i)
_(C-1))2_medium.jpg)
_(C2-1))2_medium.jpg)
_(C3-1))2_medium.jpg)
_(C4-1))2_medium.jpg)
_(C5-1))2_medium.jpg)
Z= [(Z + Cm-1) / (Cm + 1)]2[modifica]
Z= [(Z + C -1) / (C +1]2
Zo = (0,0i)
Z= [(Z + C2 -1) / (C2 +1]2
Zo = (0,0i)
Z= [(Z + C3 -1) / (C3 +1]2
Zo = (0,0i)
Z= [(Z + C4 -1) / (C4 +1)]2
Zo = (0,0i)
Z= [(Z + C5 -1) / (C5 +1)]2
Zo = (0,0i)
_(C%2B1))2_medium.jpg)
_(C2%2B1))2_medium.jpg)
_(C3%2B1))2_medium.jpg)
_(C4%2B1))2_medium.jpg)
_(C5%2B1))2_medium.jpg)
Altres combinacions de Z i C[modifica]
Z=Z2 + C2 / (Z2+C) + C
Zo = (0,0i)
%2BC_big.jpg)
Més funcions de variable complexa[modifica]
Però hi ha una àmplia varietat de funcions, en el domini dels nombres complexos, que poden ser iterades segons el mètode de Mandelbrot.
Vaig a citar aquí alguns exemples, explicitant la part real i la imaginària:
Exp(Z) = [ Exp(x) * Cos(y), Exp(x) * Sin(y)i ]
Sin(Z) = [ Sin(x) * ((Exp(y) + Exp(-y)) / 2), Cos(x) * ((Exp(y) - Exp(-y)) / 2)i ]
Cos(Z) = [ Cos(x) * ((Exp(y) + Exp(-y)) / 2), -Sin(x) * ((Exp(y) - Exp(-y)) / 2)i ]
SinH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2), Sin(Y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2)i ]
CosH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2), Sin(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2)i ]
LN(Z) = [ 0.5 * Log(x * x + y * y), Atn(y / x)i ]
SQR(Z) = [ (x * x + y * y)^0.25 * Cos(0.5 * Atn(y/x)), (x * x + y * y)^0.25 * Sin(0.5 * Atn(y/x))i ]
ATN(Z) = [PI / 4 - (1 / 2) * Atn((1 - x^2 - y^2) / (2 * x)), -(1 / 4) * Log((1 - x^2 - y^2) ^2 + 4 * x^2) + (1 / 2) * Log((1 + y) ^2 + x^2)i]
Z = Zm + F(C)[modifica]
A continuació alguns exemples de fractals per iteració de Z2, pero transformant C segons les funcions descrites anteriorment:
Z=Z2 + Sin(C)
Zo = (0,0i)
Z=Z2 + 1/Sin(C)
Zo = (0,0i)Z=Z2 + Cos(C)
Zo = (0,0i)Z=Z2 + 1/Cos(C)
Zo = (0,0i)
_medium.jpg)
_medium.jpg)
Z=Z2 + SinH(C)
Zo = (0,0i)
Z=Z2 + 1/SinH(C)
Zo = (0,0i)
Z=Z2 + CosH(C)
Zo = (0,0i)
Z=Z2 + 1/CosH(C)
Zo = (0,0i)
_medium.jpg)
_medium.jpg)
_medium.jpg)
_medium.jpg)
Z=Z2 + Tan(C)
Zo = (0,0i)
Z=Z2 + CoTan(C)
Zo = (0,0i)
Z=Z2 + TanH(C)
Zo = (0,0i)Z=Z2 + CoTanH(C)
Zo = (0,0i)
_medium.jpg)
_medium.jpg)
_medium.jpg)
Z=Z2 + Sin(C)/CosH(C)
Zo = (0,0i)
Z=Z2 + CosH(C)/Sin(C)
Zo = (0,0i)
Z=Z2 + Cos(C)/SinH(C)
Zo = (0,0i)
Z=Z2 + SinH(C)/Cos(C)
Zo = (0,0i)
_COSH(C)_medium.jpg)
_SIN(C)_medium.jpg)
_SINH(C)_medium.jpg)
_COS(C)_medium.jpg)
Z=Z2 + Sin(C)/SinH(C)
Zo = (0,0i)
Z=Z2 + SinH(C)/Sin(C)
Zo = (0,0i)Z=Z2 + Cos(C)/CosH(C)
Zo = (0,0i)Z=Z2 + CosH(C)/Cos(C)
Zo = (0,0i)
_SINH(C)_medium.jpg)
_SIN(C)_medium.jpg)
Z= Z2 + ATan(C)
Zo = (0,0i)
Z= -0.5*Z2 + Sqr(C)
Zo = (0,0i)
Z= -0.5*Z3 + Sqr(C)
Zo = (0,0i)
_medium.jpg)
_medium.jpg)
_medium.jpg)
Fractals per iteració de Exp(Z)[modifica]
La funció eZ es descompon en una part real i una imaginària: [Exp(x) * Cos(y), Exp(x) * Sin(y)i ]
Pot ser utilitzada com a funció iterativa o com a funció transformadora dels punts C = (Cx,Cyi), simultàniament:
Com a funció iterativa[modifica]
Z = Exp(Z)+ C
Zo = (0,0i)
Z = Z * Exp(Z)+ C
Zo = (0,0i)
%2BC.jpg)
%2BC_medium.jpg)
Com a funció transformadora de C[modifica]
Z = Z2 + Exp(C)
Zo = (0,0i)
.jpg)
Com a funció iterativa i transformadora de C, simultàniament[modifica]
Z = Exp(C3/Z3)
Zo = (0,0i)
Z = Exp[(Z2-1.00001*Z)/Sqr(C3)]
Zo = (0,0i)
Z = Exp[(Z2- 1.00001*Z)/C3]
Zo = (0,0i)
.jpg)
_SQR(C%5E3)).jpg)
_C%5E3)_.jmb.jpg)
El cas de la funció Z = Exp[(Z2 + k * Z) / F(Cm)][modifica]
Aquesta funció és molt sensible a Zo, i també a el coeficient (k) que multiplica a Z. Veiem alguns exemples interessants:
Z = Exp[(Z2+ k*Z)/ Sqr(C3)]
Zo = (1,1i) k = 1
Z = Exp[(Z2+ k*Z)/ Sqr(C3)]
Zo = (1,1i) k = -0.8
Z = Exp[(Z2+ k*Z)/ Sqr(C7)]
Zo = (1,1i) k = 0.0
Z = Exp[(Z2+ k*Z)/ Sqr(C7)]
Zo = (1,1i) k = -0.8
Z = Exp[(Z2+ k*Z)/ LN(C9)]
Zo = (1,1i) k = 3.0
_Sqr(C%5E3)_).jmb.jpg)
_Sqr(C3))_medium.jpg)
)_medium.jpg)
_SQR(C7))_medium.jpg)
_LN(C9))_medium.jpg)
El cas de la funció Zn+1 = Exp(Zn / C m)[modifica]
Z = Exp(Z /C)
Zo = (0,0i)
Z = Exp(Z /C2)
Zo = (0,0i)
Z = Exp(Z /C3)
Zo = (0,0i)
Z = Exp(Z /C4)
Zo = (0,0i)
Z = Exp(Z /C5)
Zo = (0,0i)
Z = Exp(Z /C6)
Zo = (0,0i)
_medium.jpg)
_medium.jpg)
_medium.jpg)
_medium.jpg)
_medium.jpg)
_medium.jpg)
El cas de la funció Zn+1 = Exp(Zn / C m) + C p[modifica]
Z = Exp(Z /C6) + C 3
Zo = (0,0i)
Z = Exp(Z /C8) + C 4
Zo = (0,0i)
Z = Exp(Z /C10) + C 5
Zo = (0,0i)
Z = Exp(Z /C8) + C 2
Zo = (0,0i)
%2BC3_medium.jpg)
%2BC4_medium.jpg)
%2BC5_medium.jpg)
%2BC2_medium.jpg)
El cas de la funció Zn+1 = Exp(Znp / C p)[modifica]
Z = Exp(Z3/C3)
Zo = (0,0i)
Z = Exp(Z4/C4)
Zo = (0,0i)
.jpg)
.jpg)
El cas de la funció Zn+1 = Znq * Exp(Zn / C p) + C[modifica]
Z = Z2 * Exp(Z/C)+ C
Zo = (0,0i)
Z = Z3 * Exp(Z/C)+ C
Zo = (0,0i)
Z = Z4 * Exp(Z/C)+ C
Zo = (0,0i)
Z = Z5 * Exp(Z/C)+ C
Zo = (0,0i)
%2BC_medium.jpg)
%2BC_medium.jpg)
%2BC_medium.jpg)
%2BC_medium.jpg)
El cas de la funció Zn+1 = Exp[ Zn2 / (C m + C p) ][modifica]
Apareixen un nombre de lòbuls centrals = m, i un nombre d'arestes exteriors = p, sent m<p.
Z = Exp[Z2 / ( C5 + C )]
Zo = (0,0i)
Z = Exp[Z2 / ( C6 + C3 )]
Zo = (0,0i)
Z = Exp[Z2 / ( C8 + C4 )]
Zo = (0,0i)
).jpg)
).jpg)
).jpg)
El cas de la funció Zn+1 = Znm * Exp[ Cos(Zn)] + 1/C[modifica]
Apareixen un nombre d'arestes = m,
Z = Z2* Exp[ Cos(Z)] + 1/C
Zo = (0,0i)
Z = Z3* Exp[ Cos(Z)] + 1/C
Zo = (0,0i)
Z = Z4* Exp[ Cos(Z)] + 1/C
Zo = (0,0i)
)%2B1_C_medium.jpg)
)%2B1_C_medium.jpg)
)%2B1_C_medium.jpg)
Fractals per iteració de Sin(Z)[modifica]
Aquesta funció es descompon en una part real i una imaginària: Sin(Z) = [ Sin(x) * ((Exp(y) + Exp(-y)) / 2), Cos(x) * ((Exp(y) - Exp(-y)) / 2)i ]
Pot ser utilitzada com a funció iterativa o com a funció transformadora dels punts C = (Cx,Cyi), simultàniament:
Com a funció iterativa[modifica]
Z = Sin(Z)+ C
Zo = (0,0i)
%2BC_medium.jpg)
Com a funció transformadora de C[modifica]
Z = Z2+Sin(C)
Zo = (0,0i)
Z = Z3+Sin(C)
Zo = (0,0i)
Z = Z4+Sin(C)
Zo = (0,0i)
Z = Z5+Sin(C)
Zo = (0,0i)
Z = Z6+Sin(C)
Zo = (0,0i)
_medium.jpg)
_medium.jpg)
_medium.jpg)
_medium.jpg)
Z = Z2+Sin(C2)
Zo = (0,0i)
Z = Z3+Sin(C2)
Zo = (0,0i)
Z = Z4+Sin(C2)
Zo = (0,0i)
_medium.jpg)
_medium.jpg)
_medium.jpg)
Com a funció iterativa i transformadora de C, simultàniament[modifica]
Z = Sin(CosH(Z)*C3)
Zo = (0,0i)
xC3)_medium.jpg)
El cas de la funció Zn+1 = Sin(Zn * C m)[modifica]
Z = Sin(Z*C0.5)
Zo = (1,0i)
Z = Sin(Z*C)
Zo = (1,0i)
Z = Sin(Z*C2)
Zo = (1,0i)
Z = Sin(Z*C3)
Zo = (1,0i)
Z = Sin(Z*C10)
Zo = (1,0i)
Z = Sin(Z0.5*C3)
Zo = (1,0i)
)_medium.jpg)
_medium.jpg)
.jpg)
.jpg)
_medium.jpg)
xC3)_medium.jpg)
El cas de la funció Zn+1 = Sin(Zn / C m)[modifica]
Z = Sin(Z/C0.5)
Zo = (1,0i)
Z = Sin(Z/C)
Zo = (1,0i)
Z = Sin(Z/C2)
Zo = (1,0i)
Z = Sin(Z/C3)
Zo = (1,0i)
Z = Sin(Z/C10)
Zo = (1,0i)
)_medium.jpg)
_medium.jpg)
_medium.jpg)
_medium.jpg)
_medium.jpg)
Fractals per iteració de Cos(Z)[modifica]
Aquesta funció es descompon en una part real i una imaginària: ' Cos(Z) = [ Cos(x)*((Exp(y)+Exp(-y)) / 2), -Sin(x)*((Exp(y)-Exp(-y))/2)i ]
Pot ser utilitzada com a funció iterativa o com a funció transformadora dels punts C = (Cx,Cyi), simultàniament:
Com a funció iterativa[modifica]
Z = Cos(Z)+ 1/C
Zo = (0,0i)
Z = Cos(Z)+ LN(C)
Zo = (0,0i)
Z = Cos(Z3)+ 1/C
Zo = (0.2,0.3i)
%2B1_C_medium.jpg)
%2BLN(C)_medium.jpg)
%2B1_C.jpg)
Com a funció transformadora de C[modifica]
Z = Z2 + Cos( C)
Zo = (0,0i)
.jpg)
Com a funció iterativa i transformadora de C, simultàniament[modifica]
Z = Cos(Z) + Cos(C)
Zo = (0,0i)
Z = Cos(C/Z)
Zo = (0,0i)
%2BCOS(C)_medium.jpg)
_mediumB.jpg)
El cas de la funció Zn+1 = Cos(Zn * C m)[modifica]
Z = Cos(Z*C0.5)
Zo = (0,0i)
Z = Cos(Z*C)
Zo = (0,0i)
Z = Cos(Z*C2)
Zo = (0,0i)
Z = Cos(Z*C3)
Zo = (0,0i)
)_medium.jpg)
.jpg)
.jpg)
.jmb.jpg)
El cas de la funció Zn+1 = Cos(Zn / C m)[modifica]
Z = Cos(Z/C0.5)
Zo = (0,0i)
Z = Cos(Z/C)
Zo = (0,0i)
Z = Cos(Z/C2)
Zo = (0,0i)
Z = Cos(Z/C3)
Zo = (0,0i)
Z = Cos(Z/C4)
Zo = (0,0i)
)_medium.jpg)
_medium.jpg)
_medium.jpg)
_medium.jpg)
_medium.jpg)
Fractals per iteració de SinH(Z)[modifica]
La funció Sinus Hiperbòlic es descompon en una part real i una imaginària: SinH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2), Sin(Y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2)i ]
Pot ser utilitzada com a funció iterativa o com a funció transformadora dels punts C = (Cx,Cyi), simultàniament:
Com a funció iterativa[modifica]
Z = SinH(Z) + 1/C
Zo = (0.91, -0.08i)
Z = SinH(Z) + 1/C
Zo = (0.90, -0.05i)
Z = SinH(Z) + 1/C2
Zo = (1, 0.1i)
Z = SinH(Z2) + 1/C
Zo = (1, -1i)
%2B1_C_BIG.jpg)
%2B1_C_BIG2.jpg)
%2B1_C2_BIG.jpg)
%2B1_C_BIG.jpg)
Com a funció transformadora de C[modifica]
Z = Z2 + SinH(C)
Zo = (0,0i)
Z = Z2 + SinH(1/ C3)
Zo = (0,0i)
_medium.jpg)
Com a funció iterativa i transformadora de C, simultàniament[modifica]
Z = SinH(Z / C )
Zo = (0,1i)
Z = SinH(Z)/ C
Zo = (1,0i)
_BIG.jpg)
_C_mediumB.jpg)
Fractals per iteració de CosH(Z)[modifica]
La funció CoSinus Hiperbòlic es descompon en una part real i una imaginària: CosH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2), Sin(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2)i ]
Pot ser utilitzada com a funció iterativa o com a funció transformadora dels punts C = (Cx,Cyi), simultàniament:
Com a funció iterativa[modifica]
Z = CosH(Z) + 1/C
Zo = (0,0i)
Z = CosH(Z2) + 1/C
Zo = (0,0i)
Z = CosH(Z3) + 1/C
Zo = (0,0i)
Z = CosH(Z4) + 1/C
Zo = (0,0i)
Z = CosH(Z5) + 1/C
Zo = (0,0i)
%2B1_C_medium.jpg)
%2B1_C_medium.jpg)
%2B1_C_medium.jpg)
%2B1_C_medium.jpg)
%2B1_C_medium.jpg)
Fractals per iteració de combinacions de diferents funcions de Z o C[modifica]
Z = SinH(Z) * Sin(Z) + C
Zo = (0,0i)
Z = CosH[Exp(Z2)]+ C
Zo = (0,0i)
Z = Exp(Z/C5)+ Ln(Z) + Z
Zo = (0,0i)
xSin(Z)%2BC_BIG.jpg)
)%2BC_medium.jpg)
%2BLN(Z)%2BZ_medium.jpg)
Més fractals segons el mètode de Mandelbrot[modifica]
Aquí es mostra un ejemple d'iteració de dos funcions F(X) i F(Y), per ad.dició de cada un dels punts del pla C(X,Y), i la introducció d'una tercera funció F(Z) que desequilibra el punt de convergència.
Xn+1 = Xn - Sin(Yn) + C(X)
Yn+1 = Yn - Sin( Xn) + C(Y)
Zn+1 = Zn - Cos( Xn + Yn)
Bibliografia[modifica]
- Mandelbrot, Benoît. «Forma, azar y dimensión». A: Los objetos fractales. segona edició (en castellà). Tusquets Editores, 1993. ISBN 9788472234581 [Consulta: Gener de 2014].
- Mandelbrot, Benoît. La geometría fractal de la naturaleza (en castellà). Tusquets Editores, 1997. ISBN 9788483105498 [Consulta: Gener de 2014].
- Binimelis, María Isabel. Una nueva manera de ver el mundo: La geometría fractal (en castellà). RBA Libros, 2011. ISBN 9788498679410 [Consulta: Gener de 2014].
- Gulick, Denny; Scott, Jon. Mathematical Association of America. The Beauty of Fractals: Six Different Views (en anglès), 2010. ISBN 9780883851869 [Consulta: Gener de 2014].
Enllaços externs[modifica]
- Mandelbrot Set. Wolfram Mathworld (en anglès).
- Fractal Geometry. IBM (en anglès).
