Desenvolupament de fractals mitjançant el mètode de Mandelbrot

Benoît Mandelbrot durant el 2007.

El mètode de Mandelbrot és un mètode dissenyat per a desenvolupar "objectes fractals" i que fou va ser creat per Benoît Mandelbrot a la dècada dels anys 70, mentre treballava a IBM.

Bases generals del mètode

Consisteix en, per cada punt del pla complex C=(Cx,Ciy), iterar una funció arbitrària sumant en cada iteració aquest punt. Així doncs : F_n+1(x,iy) = F_n(x,iy) + (Cx,Ciy) Totes les iteracions parteixen dels punts x=0, iy=0, i quan la iteració convergeix s'acoloreix d'un color sòlid. La divergència a infinit és acolorida mitjançant un patró cromàtic progressiu.
El fractal derivat de la funció iterativa Z = Z² + C s'anomena conjunt de Mandelbrot.

Z = Z^m + C

A continuació es mostra una sèrie de fractals iterant les diferents potències de Z = Z^m + C, segons el mètode de Mandelbrot.

Exemples de fractals del tipus Mandelbrot: Z = Z^m + C

• 
  Z = Z² + C

  Conjunt de Mandelbrot
• 
  Z = Z³ + C
• 
  Z = Z⁴ + C
• 
  Z = Z⁵ + C
• 
  Z = Z⁶ + C
• 
  Z = Z⁷ + C
• 
  Z = Z⁸ + C
• 
  Z = Z⁹ + C
• 
  Z = Z¹⁰ + C
• 
  Z = Z¹¹ + C
• 
  Z = Z¹² + C
• 
  Z = Z¹² + C
  x 8
• 
  Z = Z²⁰ + C
• 
  Z = Z²⁰ + C
  x 10
• 
  Z = Z⁴⁸ + C
• 
  Z = Z⁴⁸ + C
  x 20
• 
  Z = Z⁹⁶ + C
• 
  Z = Z⁹⁶ + C
  x 40

Tal com es pot veure en els exemples representats, el nombre de lòbuls es L = m - 1

Un breu viatge a les profunditats del fractal de Mandelbrot Z = Z² + C

A continuació anem a endinsar-nos en el fractal clàssic de Mandelbrot, utilitzant el microscopi de molt elevada resolució que ens proporciona el càlcul iteratiu. Totes les ampliacions vénen precedides d'una imatge del fractal a escala 1:1 on podem apreciar la zona ampliada.

Ampliació zona 1

Centre de coordenades : Cx = 0.291811, Cy = 0.0144686

• 
  x 1
• 
  x 732

Ampliació zona 2

Centre de coordenades : Cx = -0.165643411, Cy = 0.656685704

• 
  x 1
• 
  x 3855

Ampliació zona 3

Centre de coordenades : Cx = -0.755625, Cy = 0.06328125

• 
  x 1
• 
  x 180

Ampliació zona 4

Centre de coordenades : Cx = -0,1758752481899, Cy = 1,075392007
A continuació baixarem a gran profunditat, amb una ampliació de més de 2 milions i amb un nombre màxim de 6000 iteracions per pixel !

• 
  x 1
• 
  x 2,369,369

Ampliació zona XX

Centre de coordenades : Cx = 0,02816835288421, Cy = 0,63790834667330

Ara ens endinsarem en un lloc amb estranyes formes i colors, però a on podem apreciar perfectament les Formes del fractal de Mandelbrot ...

• 
  x 5,598

Z = Z^-m + C

Exemples de fractals del tipus de Mandelbrot, amb potències negatives de Z.

• Z = Z-2 + C
  Z = Z^-2 + C
• 
  Z = Z^-3 + C
• 
  Z = Z^-4 + C
• 
  Z = Z^-5 + C

Z = Z^m + C^p

Pero, què passa quan fem Z = Z^m + C^p ?. Tal com podeu veure en els següents exemples, el nombre de lòbuls és L = (m - 1) * p

• 
  Z = Z² + C²
  L = (2 - 1)* 2 = 2
• 
  Z = Z² + C³
  L = (2 - 1)* 3 = 3
• 
  Z = Z²+C⁶ - 1
  L = (2 - 1)* 6 = 6
• 
  Z = Z³ + C²
  L = (3 - 1)* 2 = 4
• 
  Z = Z³ + C³
  L = (3 - 1)* 3 = 6
• 
  Z = Z⁴ + C⁴
  L = (4 - 1)* 4 = 12

Z = Z^p / (1 + Z^q) + C

• 
  Z = Z² / (1 + Z) + C
• 
  Z = Z³ / (1 + Z²) + C
• 
  Z = Z³ / (1 + Z) + C
• 
  Z = Z³ / (1 + Z + Z²) + C
• 
  Z = [(1 + Z) / Z²] + C

Z = Z^m + Z + C

A continuació es mostra una sèrie de fractals iterant les diferents potències de Z = Z^m + Z + C, segons el mètode de Mandelbrot.

• 
  Z = Z² + Z + C
• 
  Z = Z³ + Z + C
• 
  Z = Z⁴ + Z + C
• 
  Z = Z⁹ + Z + C

Z = Z^m - Z + C

A continuació es mostra una sèrie de fractals iterant les diferents potències de Z = Z^m - Z + C, segons el mètode de Mandelbrot.

• 
  Z = Z³ - Z + C
• 
  Z = Z⁴ - Z + C
• 
  Z = Z⁵ - Z + C
• 
  Z = Z⁹ - Z + C

Z = Z^m + 1/C

També es pot transformar cada punt del pla complex, d'acord a una funció arbitrària, abans de ser adicionat a la funció iterativa, segons la següent equació Z = Z^m + F(C) . Veiem que passa quan la transformació és del tipus: F(C) = 1 / C

Ejemples de fractals del tipus Mandelbrot: Z = Z^m + 1/C, a on cada punt C del pla complex es transforma a 1/C, abans d'entrar en la iteració de la potència de Z.
Zo = (0,0i). El nombre de vèrtexs és V = (m - 1)

• 
  Z = Z² + 1/C
• 
  Z = Z³ + 1/C
• 
  Z = Z⁴ + 1/C
• 
  Z = Z⁵ + 1/C
• 
  Z = Z⁶ + 1/C
• 
  Z = Z⁷ + 1/C

Pero, què passa quan fem Z = Z^m + (1 / C²) ?. Doncs quelcom molt semblant, com podeu veure en els següents exemples, ara el nombre de vèrtexs és V = (m - 1) * p

• 
  Z = Z² + 1 / C²
  V = (2 - 1)* 2 = 2
• 
  Z = Z³ + 1 / C²
  V = (3 - 1)* 2 = 4
• 
  Z = Z⁴ + 1 / C²
  V = (4 - 1)* 2 = 6
• 
  Z = Z⁵ + 1 / C²
  V = (5 - 1)* 2 = 8
• 
  Z = Z⁶ + 1 / C²
  V = (6 - 1)* 2 = 10
• 
  Z = Z⁷ + 1 / C²
  V = (7 - 1)* 2 = 12

• 
  Z = Z² + 1 / C³
  V = (2 - 1)* 3 = 3
• 
  Z = Z² + 1 / (C³+1)
  V = (2 - 1)* 3 = 3

Integrant en el mateix fractal una funció de C i la seva inversa Z = Z^m + C .. i .. Z = Z^m + 1/C

La zona en color BLANC intens és l'àrea d'intersecció dels 2 sets.

• 
  Z = Z² + 1 / C
  Z = Z² + C
• 
  Z = Z² + 1 / C
  Z = Z³ + C
• 
  Z = Z³ + 1 / C
  Z = Z² + C
• 
  Z = Z³ + 1 / C
  Z = Z³ + C
• 
  Z = Z⁴ + 1 / C
  Z = Z⁴ + C
• 
  Z = Z⁴ + 1 / C
  Z = Z³ + C

Z = ( Z^m / C^m ) + C

• 
  Z = (Z⁴ / C⁴) + C
• 
  Z = (Z⁸ / C⁸) + C

Z = Z^m + C + C^p + 1/ C + 1/ C^q

També podem afegir más sumants a la funció Z^m, combinant C, C^m, 1/C y 1/C^p en grups de 2, 3 o 4, veiem que passa si agrupem C,C², 1/C i 1/C² en 2, 3 i 4 ..:

• 
  Z = Z² + C + C²
• 
  Z = Z + C + 1/C
• 
  Z = Z² + C + 1/C²
• 
  Z = Z² + C²+ 1/C
• 
  Z = Z² + C² + 1/C²
• 
  Z = Z² + 1/C + 1/ C²

• 
  Z = Z² + C + C² + 1/C
• 
  X = Z² + C + C² + 1/C²
• 
  Z = Z² + C + 1/C + 1/C²
• 
  Z = Z² + C² + 1/C + 1/C²
• 
  Z = Z² + C + C² + 1/C + 1/C²

A continuació més combinacions amb altres exponents:

• 
  Z = Z² + C + 1/ C³

Z = Z^m + polinomi de C

• 
  Z=Z² + C /(C²+1) + C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + C /(C²-1)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + C² /(C⁴ + 0.1)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + C² / (C⁴ - 0.25)
  Zo = (0,0i)

El cas de la funció: Z=Z² + 1 /(C^m-1)

• 
  Z=Z² + 1 /(C²-1)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + 1 /(C³-1)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + 1 /(C⁴-1)
  Zo = (0,0i)

Z = Z^m + polinomi mixt de C i Z

Podem sumar a Z^m polinomis mixtes de C i Z, veiem què passa:

Z = Z² + C/ (Z² + k)

• 
  Z=Z² + C / (Z²- 0.001)
  Zo = (0,0i) x 1000
• 
  Z=Z² + C / (Z²- 0.01)
  Zo = (0,0i) x 100
• 
  Z=Z² + C / (Z²- 0.1)
  Zo = (0,0i) x 10
• 
  Z=Z² + C / (Z²+ 0.1)
  Zo = (0,0i) x 10
• 
  Z=Z² + C / (Z²+ 0.01)
  Zo = (0,0i) x 100
• 
  Z=Z² + C / (Z²+ 0.001)
  Zo = (0,0i) x 24,900

Z = Z^m + C^p/Z^q + C

• 
  Z=Z² + (C² /Z²) + C
  Zo = (0,0i) m=2, p=2,q=2
• 
  Z=Z² + (C⁴ /Z²) + C
  Zo = (0,0i) m=2,p=4,q=2
• 
  Z=Z² + (C⁴ /Z⁴) + C
  Zo = (0,0i) m=2, p=4,q=4
• 
  Z=Z² + (C⁶ /Z⁶) + C
  Zo = (0,0i) m=2, p=6,q=6
• 
  Z=Z⁴ + (C² /Z⁴) + C
  Zo = (0,0i) m=4, p=2,q=4

Z= [(Z^m+C-1) / (m*Z^m-1+C- m)]²

• 
  Z= [(Z²+C-1) / (2*Z+C-2)]²
  Zo = (0,0i) MAGNET
• 
  Z= [(Z²+C²-1) / (2*Z+C² -2)]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z²+C³-1) / (2*Z+C³ -2)]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z³+C-1) / (3*Z²+C-3)]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z⁴+C-1) / (4*Z³+C-4)]²
  Zo = (0,0i)

Z= [(Z + C^m-1) / C^m]²

• 
  Z= [(Z + C -1) / C]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z + C²-1) / C²]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z + C³-1) / C³]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z + C⁴-1) / C⁴]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z + C⁵-1) / C⁵]²
  Zo = (0,0i)

Z= [(Z + C^m-1) / C^m]³

• 
  Z= [(Z + C -1) / C ]³
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z + C²-1) / C²]³
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z + C³-1) / C³]³
  Zo = (0,0i)

Z= [(Z + C^m+1) / (C^m - 1)]²

• 
  Z= [(Z + C +1) / (C -1]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z + C² +1) / (C² -1]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z + C³ +1) / (C³ -1)]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z + C⁴ +1) / (C⁴ -1)]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z + C⁵ +1) / (C⁵ -1)]²
  Zo = (0,0i)

Z= [(Z + C^m-1) / (C^m + 1)]²

• 
  Z= [(Z + C -1) / (C +1]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z + C² -1) / (C² +1]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z + C³ -1) / (C³ +1]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z + C⁴ -1) / (C⁴ +1)]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z + C⁵ -1) / (C⁵ +1)]²
  Zo = (0,0i)

Altres combinacions de Z i C

• 
  Z=Z² + C² / (Z²+C) + C
  Zo = (0,0i)

Més funcions de variable complexa

Però hi ha una àmplia varietat de funcions, en el domini dels nombres complexos, que poden ser iterades segons el mètode de Mandelbrot.
Vaig a citar aquí alguns exemples, explicitant la part real i la imaginària:

Exp(Z) = [ Exp(x) * Cos(y), Exp(x) * Sin(y)i ]
Sin(Z) = [ Sin(x) * ((Exp(y) + Exp(-y)) / 2), Cos(x) * ((Exp(y) - Exp(-y)) / 2)i ]
Cos(Z) = [ Cos(x) * ((Exp(y) + Exp(-y)) / 2), -Sin(x) * ((Exp(y) - Exp(-y)) / 2)i ]
SinH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2), Sin(Y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2)i ]
CosH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2), Sin(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2)i ]
LN(Z) = [ 0.5 * Log(x * x + y * y), Atn(y / x)i ]
SQR(Z) = [ (x * x + y * y)^0.25 * Cos(0.5 * Atn(y/x)), (x * x + y * y)^0.25 * Sin(0.5 * Atn(y/x))i ]
ATN(Z) = [PI / 4 - (1 / 2) * Atn((1 - x^2 - y^2) / (2 * x)), -(1 / 4) * Log((1 - x^2 - y^2) ^2 + 4 * x^2) + (1 / 2) * Log((1 + y) ^2 + x^2)i]

Z = Z^m + F(C)

A continuació alguns exemples de fractals per iteració de Z², pero transformant C segons les funcions descrites anteriorment:

• 
  Z=Z² + Sin(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + 1/Sin(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + Cos(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + 1/Cos(C)
  Zo = (0,0i)

• 
  Z=Z² + SinH(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + 1/SinH(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + CosH(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + 1/CosH(C)
  Zo = (0,0i)

• 
  Z=Z² + Tan(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + CoTan(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + TanH(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + CoTanH(C)
  Zo = (0,0i)

• 
  Z=Z² + Sin(C)/CosH(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + CosH(C)/Sin(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + Cos(C)/SinH(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + SinH(C)/Cos(C)
  Zo = (0,0i)

• 
  Z=Z² + Sin(C)/SinH(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + SinH(C)/Sin(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + Cos(C)/CosH(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + CosH(C)/Cos(C)
  Zo = (0,0i)

• 
  Z= Z² + ATan(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= -0.5*Z² + Sqr(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= -0.5*Z³ + Sqr(C)
  Zo = (0,0i)

Fractals per iteració de Exp(Z)

La funció e^Z es descompon en una part real i una imaginària: [Exp(x) * Cos(y), Exp(x) * Sin(y)i ]

Pot ser utilitzada com a funció iterativa o com a funció transformadora dels punts C = (Cx,Cyi), simultàniament:

Com a funció iterativa

• 
  Z = Exp(Z)+ C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z * Exp(Z)+ C
  Zo = (0,0i)

Com a funció transformadora de C

• 
  Z = Z² + Exp(C)
  Zo = (0,0i)

Com a funció iterativa i transformadora de C, simultàniament

• 
  Z = Exp(C³/Z³)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp[(Z²-1.00001*Z)/Sqr(C³)]
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp[(Z²- 1.00001*Z)/C³]
  Zo = (0,0i)

El cas de la funció Z = Exp[(Z² + k * Z) / F(C^m)]

Aquesta funció és molt sensible a Zo, i també a el coeficient (k) que multiplica a Z. Veiem alguns exemples interessants:

• 
  Z = Exp[(Z²+ k*Z)/ Sqr(C³)]
  Zo = (1,1i) k = 1
• 
  Z = Exp[(Z²+ k*Z)/ Sqr(C³)]
  Zo = (1,1i) k = -0.8
• 
  Z = Exp[(Z²+ k*Z)/ Sqr(C⁷)]
  Zo = (1,1i) k = 0.0
• 
  Z = Exp[(Z²+ k*Z)/ Sqr(C⁷)]
  Zo = (1,1i) k = -0.8
• 
  Z = Exp[(Z²+ k*Z)/ LN(C⁹)]
  Zo = (1,1i) k = 3.0

El cas de la funció Z_n+1 = Exp(Z_n / C ^m)

• 
  Z = Exp(Z /C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z /C²)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z /C³)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z /C⁴)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z /C⁵)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z /C⁶)
  Zo = (0,0i)

El cas de la funció Z_n+1 = Exp(Z_n / C ^m) + C ^p

• 
  Z = Exp(Z /C⁶) + C ³
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z /C⁸) + C ⁴
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z /C¹⁰) + C ⁵
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z /C⁸) + C ²
  Zo = (0,0i)

El cas de la funció Z_n+1 = Exp(Z_n^p / C ^p)

• 
  Z = Exp(Z³/C³)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z⁴/C⁴)
  Zo = (0,0i)

El cas de la funció Z_n+1 = Z_n^q * Exp(Z_n / C ^p) + C

• 
  Z = Z² * Exp(Z/C)+ C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z³ * Exp(Z/C)+ C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z⁴ * Exp(Z/C)+ C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z⁵ * Exp(Z/C)+ C
  Zo = (0,0i)

El cas de la funció Z_n+1 = Exp[ Z_n² / (C ^m + C ^p) ]

Apareixen un nombre de lòbuls centrals = m, i un nombre d'arestes exteriors = p, sent m<p.

• 
  Z = Exp[Z² / ( C⁵ + C )]
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp[Z² / ( C⁶ + C³ )]
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp[Z² / ( C⁸ + C⁴ )]
  Zo = (0,0i)

El cas de la funció Z_n+1 = Z_n^m * Exp[ Cos(Z_n)] + 1/C

Apareixen un nombre d'arestes = m,

• 
  Z = Z²* Exp[ Cos(Z)] + 1/C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z³* Exp[ Cos(Z)] + 1/C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z⁴* Exp[ Cos(Z)] + 1/C
  Zo = (0,0i)

Fractals per iteració de Sin(Z)

Aquesta funció es descompon en una part real i una imaginària: Sin(Z) = [ Sin(x) * ((Exp(y) + Exp(-y)) / 2), Cos(x) * ((Exp(y) - Exp(-y)) / 2)i ]
Pot ser utilitzada com a funció iterativa o com a funció transformadora dels punts C = (Cx,Cyi), simultàniament:

Com a funció iterativa

• 
  Z = Sin(Z)+ C
  Zo = (0,0i)

Com a funció transformadora de C

• 
  Z = Z²+Sin(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z³+Sin(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z⁴+Sin(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z⁵+Sin(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z⁶+Sin(C)
  Zo = (0,0i)

• 
  Z = Z²+Sin(C²)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z³+Sin(C²)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z⁴+Sin(C²)
  Zo = (0,0i)

Com a funció iterativa i transformadora de C, simultàniament

• 
  Z = Sin(CosH(Z)*C³)
  Zo = (0,0i)

El cas de la funció Z_n+1 = Sin(Z_n * C ^m)

• 
  Z = Sin(Z*C^0.5)
  Zo = (1,0i)
• 
  Z = Sin(Z*C)
  Zo = (1,0i)
• 
  Z = Sin(Z*C²)
  Zo = (1,0i)
• 
  Z = Sin(Z*C³)
  Zo = (1,0i)
• 
  Z = Sin(Z*C¹⁰)
  Zo = (1,0i)
• 
  Z = Sin(Z^0.5*C³)
  Zo = (1,0i)

El cas de la funció Z_n+1 = Sin(Z_n / C ^m)

• 
  Z = Sin(Z/C^0.5)
  Zo = (1,0i)
• 
  Z = Sin(Z/C)
  Zo = (1,0i)
• 
  Z = Sin(Z/C²)
  Zo = (1,0i)
• 
  Z = Sin(Z/C³)
  Zo = (1,0i)
• 
  Z = Sin(Z/C¹⁰)
  Zo = (1,0i)

Fractals per iteració de Cos(Z)

Aquesta funció es descompon en una part real i una imaginària: ' Cos(Z) = [ Cos(x)*((Exp(y)+Exp(-y)) / 2), -Sin(x)*((Exp(y)-Exp(-y))/2)i ]
Pot ser utilitzada com a funció iterativa o com a funció transformadora dels punts C = (Cx,Cyi), simultàniament:

Com a funció iterativa

• 
  Z = Cos(Z)+ 1/C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(Z)+ LN(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(Z³)+ 1/C
  Zo = (0.2,0.3i)

Com a funció transformadora de C

• 
  Z = Z² + Cos( C)
  Zo = (0,0i)

Com a funció iterativa i transformadora de C, simultàniament

• 
  Z = Cos(Z) + Cos(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(C/Z)
  Zo = (0,0i)

El cas de la funció Z_n+1 = Cos(Z_n * C ^m)

• 
  Z = Cos(Z*C^0.5)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(Z*C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(Z*C²)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(Z*C³)
  Zo = (0,0i)

El cas de la funció Z_n+1 = Cos(Z_n / C ^m)

• 
  Z = Cos(Z/C^0.5)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(Z/C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(Z/C²)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(Z/C³)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(Z/C⁴)
  Zo = (0,0i)

Fractals per iteració de SinH(Z)

La funció Sinus Hiperbòlic es descompon en una part real i una imaginària: SinH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2), Sin(Y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2)i ]
Pot ser utilitzada com a funció iterativa o com a funció transformadora dels punts C = (Cx,Cyi), simultàniament:

Com a funció iterativa

• 
  Z = SinH(Z) + 1/C
  Zo = (0.91, -0.08i)
• 
  Z = SinH(Z) + 1/C
  Zo = (0.90, -0.05i)
• 
  Z = SinH(Z) + 1/C²
  Zo = (1, 0.1i)
• 
  Z = SinH(Z²) + 1/C
  Zo = (1, -1i)

Com a funció transformadora de C

• 
  Z = Z² + SinH(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z² + SinH(1/ C³)
  Zo = (0,0i)

Com a funció iterativa i transformadora de C, simultàniament

• 
  Z = SinH(Z / C )
  Zo = (0,1i)
• 
  Z = SinH(Z)/ C
  Zo = (1,0i)

Fractals per iteració de CosH(Z)

La funció CoSinus Hiperbòlic es descompon en una part real i una imaginària: CosH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2), Sin(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2)i ]
Pot ser utilitzada com a funció iterativa o com a funció transformadora dels punts C = (Cx,Cyi), simultàniament:

Com a funció iterativa

• 
  Z = CosH(Z) + 1/C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = CosH(Z²) + 1/C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = CosH(Z³) + 1/C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = CosH(Z⁴) + 1/C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = CosH(Z⁵) + 1/C
  Zo = (0,0i)

Fractals per iteració de combinacions de diferents funcions de Z o C

• 
  Z = SinH(Z) * Sin(Z) + C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = CosH[Exp(Z²)]+ C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z/C⁵)+ Ln(Z) + Z
  Zo = (0,0i)

Més fractals segons el mètode de Mandelbrot

Aquí es mostra un ejemple d'iteració de dos funcions F(X) i F(Y), per ad.dició de cada un dels punts del pla C(X,Y), i la introducció d'una tercera funció F(Z) que desequilibra el punt de convergència.
Xn+1 = Xn - Sin(Yn) + C(X)
Yn+1 = Yn - Sin( Xn) + C(Y)
Zn+1 = Zn - Cos( Xn + Yn)

• 
• 

Bibliografia

• Mandelbrot, Benoît. «Forma, azar y dimensión». A: Los objetos fractales. segona edició (en castellà). Tusquets Editores, 1993. ISBN 9788472234581 [Consulta: Gener de 2014]. 
• Mandelbrot, Benoît. La geometría fractal de la naturaleza (en castellà). Tusquets Editores, 1997. ISBN 9788483105498 [Consulta: Gener de 2014]. 
• Binimelis, María Isabel. Una nueva manera de ver el mundo: La geometría fractal (en castellà). RBA Libros, 2011. ISBN 9788498679410 [Consulta: Gener de 2014]. 
• Gulick, Denny; Scott, Jon. Mathematical Association of America. The Beauty of Fractals: Six Different Views (en anglès), 2010. ISBN 9780883851869 [Consulta: Gener de 2014]. 

Enllaços externs

• Mandelbrot Set. Wolfram Mathworld (en anglès).
• Fractal Geometry. IBM (en anglès).