Matemàtiques (nivell ESO)/Aproximació i error

De Viquillibres

Contingut 1 Aproximacions 2 Arrodoniment 3 Truncament 4 Errors 5 Relació entre aproximacions i errors

[edita] Aproximacions

En operar amb nombres reals, de vegades trobem decimals amb moltes xifres i, per facilitar la feina, els podem expressar de forma aproximada.

Una aproximació o valor aproximat d'un nombre és un altre nombre pròxim al primer, al qual representa i substitueix.

Podem fer l'aproximació d'un nombre per defecte, si el valor aproximat és més petit que el nombre, o per excés, si el valor aproximat és més gran que el nombre.

Hi ha dues maneres d'aproximar nombres: l'arrodoniment i el truncament

[edita] Arrodoniment

Les regles d'arrodoniment s'apliquen al dígit decimal situat a la següent posició al número de decimals que es vol transformar, és a dir, si tenim un número de 3 decimals i volem arrodonir a 2, s'aplicarà les regles d'arrodoniment:

• Dígit menor que 5: Si el següent decimal és menor que 5, l'anterior no es modifica.

• • Exemple: 12,612. Arrodonint a 2 decimals haurem de tenir en compte el tercer decimal: 12,612= 12,61.

• Dígit més gran que 5: Si el següent decimal és major o igual que 5, l'anterior s'incrementa en una unitat.

• • Exemple: 12,618. Arrodonint a 2 decimals haurem de tenir en compte el tercer decimal: 12,618= 12,62.

• • Exemple: 12,615. Arrodonint a 2 decimals haurem de tenir en compte el tercer decimal: 12,615= 12,62.

[edita] Truncament

El truncament és la reducció del número de dígits a la dreta del punt decimal, descartant els menys significatius.

Per exemple, donats els números reals:

3,14159265358979...

32,438191288

6,3444444444444

Per truncar aquests números a dígits decimals, solament considerem els 4 dígits a la dreta de la coma decimal.

El resultat és:

3,1415

32,4381

6,3444

Fixeu-vos que en alguns casos, el truncament donarà el mateix resultat que l'arrodoniment, però el truncament no arrodoneix cap amunt ni cap abaix els dígits, senzillament els talla en el dígit especificat. L'error de truncament pot ser fins el doble de l'error màxim que es pot tenir usant l'arrodoniment.

[edita] Errors

Sempre que substituïm el valor exacte d'una quantitat per un valor aproximat cometem un error. Hi ha tres tipus d'errors:

• Error absolut: La diferencia, en valor absolut, entre el valor exacte i el valor aproximat.

Error absolut = valor aproximat - valor exacte

Exemple: en l'aproximació 2.5 de ---> 2.467 l'error absolut és: |2.5-2.467| = 0.033

• Error relatiu

• Error percentual o tant per cent d'error

COTA D'ERROR Anomenem cota d'error l'error màxim possible d'una aproximació.

[edita] Relació entre aproximacions i errors

De les dues maneres d'aproximar un nombre, la que menys error produeix és l'aproximació per arrodoniment.

• En addicions i subtraccions, el resultat final te la mateixa quantitat de dígits decimals que el factor amb menor quantitat de dígits decimals. Per exemple:

4.35x0.868 + 0.6 = 5.818 = 5.8

• A les multiplicacions, divisions i potències, el resultat final tindrà el mateix número de xifres significatives que el factor que menys xifres significatives tingui. Per exemple:

8425x22.3 = 187.8775 = 188