Matemàtiques (nivell ESO)/Creixement i decreixement. Màxims i mínims.

Creixement

Una funció és creixent en un punt si dins un entorn, a mesura que els valors es fan cada vegada més grans, les imatges també. Per exemple, la funció $f(x)=2x$ és creixent a qualsevol punt. Podem comprovar-ho per a x=5. Si agafam valors dins un entorn de 5, com ara $4.8,5,5.1$ observam que són valors cada vegada més grans. I les imatges són $9.6,10,10.2$, que també són valors cada vegada més grans.

Decreixement

Una funció és decreixent en un punt si dins un entorn, a mesura que els valors es fan cada vegada més grans, les imatges es fan més petites. Per exemple, la funció $g(x)=5-x$ és decreixent a qualsevol punt. Podem comprovar-ho per a x=3. Si agafam valors dins un entorn de 3, com ara $2.7,3,3.2$ observam que són valors cada vegada més grans. I les imatges són $2.3,2,1.8$, que són valors cada vegada més petits.

Monotonia

Hom parla de monotonia per referir-se al creixement o decreixement d'una funció. Estudiar la monotonia significa determinar les regions on una funció és creixent i on és decreixent. En el cas dels dos exemples anteriors, l'estudi de la monotonia conclouria dient que la funció $f(x)=2x$ és creixent a tots els punts, mentre que la funció $g(x)=5-x$ és decreixent a tots els punts.

Extrems

Màxims i mínims locals i globals de cos(3πx)/x, 0.1≤x≤1.1

El màxim es defineix com un punt en el qual la funció agafa el seu valor més alt d'un cert entorn. El mínim, en canvi, és qualsevol punt en el qual la funció agafa el seu valor més petit d'un cert entorn. Qualsevol màxim o mínim rep el nom genèric de extrem.

Fixem-nos que quan diem "un cert entorn", de fet el podem agafar tan petit com volguem. Però també es pot agafar tan gran que sigui tot el domini, cas en el qual s'utilitza la qualificació de "absolut". Un màxim absolut seria un punt en el qual la funció agafa el valor més alt per a tots els valors del domini. Un mínim absolut correspon a un punt en el qual la funció agafa el valor més petit per a tots els valors del domini. De manera genèrica, qualsevol màxim o mínim absoluts s'anomenen extrems absoluts.

Quan un màxim, mínim o simplement extrem no siguin absoluts (i fins i tot quan ho siguin), se'ls qualificarà com relatius.

De vegades també es fan servir els termes local i global per referir-se als qualificatius de relatiu i absolut, respectivament.

Trobar màxims i mínims

Quan es demana trobar els màxims i mínims d'una funció, normalment es comença cercant els extrems relatius. Una vegada trobats, els extrems absoluts correspondran a aquells màxims i mínims relatius que tenguin les imatges més alta i més baixa, respectivament.

Enllaços externs

• Thomas Simpson's work on Maxima and Minima at Convergence