Matemàtiques (Prova d'accés a cicles formatius de grau superior)/Vectors al pla

Vectors al pla

---

Nombres complexos         Funcions

---

del llibre Matemàtiques (Prova d'accés a cicles formatius de grau superior)

Tal com s'ha vist en el capítol de trigonometria, la geometria es pot estudiar a partir dels axiomes d'Euclides i no importa el significat que tinguin els conceptes com punt, recta o pla. Històricament tenien el significat d'objectes ideals en l'espai físic. Euclides comença definint el concepte de punt que ja és un concepte abstracte i a partir d'aquí va construint el concepte de recta, superfície i cos. Els matemàtics catalans del segle XII respecten el plantejmanet d'Euclides però el presenten en paral·lel amb un altre plantejament que permet entendre millor el procés d'abstracció per arribar als conceptes. Es parteix del concepte de cos i es defineix superfície com el límit d'un cos, llavors línia com els límits d'una superfície no tancada i punt com l'extrem d'una línia. El concepte de superfície plana es defineix com la que no és corba. Aquesta definició pot semblar incorrecta però és que en l'espai físic hi ha un experiment per saber si una superfície és corba: es fa una còpia, es gira i si és corba només toca la superfície original en alguns punts, si no és corba es toquen a tot arreu. Línia recta també es defineix com la línia plana que no és corba, altre cop el mateix, a partir d'una línia continguda en un pla es pot fer un experiment per saber si és corba: fer una còpia, girar-la i posar-la a tocar de la línia inicial, si és corba només es toquen en alguns punts, si és recta es toquen a tot arreu. Si el concepte de superfícies i línies es materialitzen com els límits dels cossos i de les superfícies respectivament, la manera de materialitzar aquests experiments en l'espai físic queda força clar.

Antigament la geometria i l'aritmètica eren dues disciplines que s'estudiaven per separat i que tenien poca relació entre elles. Descartes va trobar la manera d'unificar aquestes dues disciplines identificant els punts del pla amb parelles de nombres.

En estudiar els nombres reals, s'ha vist que es poden identificar amb els punts d'una recta, la recta real. En estudiar els nombres complexos s'ha vist que es poden identificar amb els punts del pla. Però no cal emprar nombres complexos per relacionar els punts del pla amb nombres, es poden relacionar amb nombres reals però cal una parella de nombres reals per cada punt.

A partir de la identificació dels punts del pla amb parelles de nombres es veu que les equacions amb dues desconegudes poden tenir un altre interpretació. Si només tenen una solució els valors de les dues desconegudes són dos nombres que es poden identificar amb un punt del pla. Si en tenen infinites de solucions, en algunes equacions, aquestes solucions corresponen a un conjunt de punts del pla que pertanyen a una línia. Això permet estudiar les línies amb les eines de l'aritmètica i de l'àlgebra i obtenir resultats en geometria. Per exemple, si les dues línies es representen cada una amb una equació de dues desconegudes, el problema de trobar els punts d'intersecció de les dues línies, és a dir els punts que pertanyen al mateix temps a les dues, es transforma en el problema de trobar quines solucions ho són al mateix temps de les dues equacions. Això és el problema de resoldre un sistema de dues equacions amb dues desconegudes que ja s'ha estudiat.

Aquest nou enfocament per estudiar la geometria es diu geometria analítica .

En física hi ha conceptes com les forces, les velocitats o els desplaçaments dels objectes que no queden prou ben definits només amb un nombre, aquests conceptes es poden identificar amb una llista de nombres (2 en el pla i 3 a l'espai) i per tant s'assemblen molt als punts però cal distingir-ne alguns aspectes. En matemàtiques aquests objectes es representen amb un nou objecte matemàtic anomenat vector.

El pla com a conjunt de punts. Coordenades dels punts del pla.

Fig. 3 – Els quatre quadrants d'un sistema de coordenades cartesià. Les fletxes als eixos indiquen que s'estenen indefinidament en les seves respectives direccions (és a dir infinitament).

Un sistema de coordenades cartesianes de dues dimensions es defineix habitualment amb dos eixos perpendiculars entre si formant un pla (el pla xy). L'eix horitzontal es diu normalment eix x, i l'eix vertical s'anomena normalment eix y. En un sistema de coordenades de tres dimensions, s'afegeix un altre eix , anomenat normalment eix z, que subministra una tercera dimensió de mesura de l'espai. Els eixos normalment es defineixen de forma que siguin mútuament ortogonals (formen un agle recte entre ells). (Els primers sistemes permetien eixos "oblics", és a dir, eixos que no es tallaven formant angles rectes, aquesta mena de sistemes encara es fan servir ocasionalment avui en dia, tot i que principalment com a exercicis teòrics.) Tots els punts d'un sistema de coordenades cartesianes considerats com a conjunt formen el pla cartesià. De les equacions que fan servir el sistema de coordenades cartesianes se'n diu equacions cartesianes.

Del punt d'intersecció, on es troben els eixos, se'n diu l' origen normalment s'etiqueta amb una O. Els eixos x i y defineixen un pla, del que es diu que és el pla xy. Donat un eix, es tria una unitat de longitud, i es marca la unitat repetidament damunt de l'eix, formant una graella. Per a especificar un punt particular en un sistema de coordenades de dues dimensions, s'indica primer la unitat x (abscissa), seguida de la unitat y (ordenada) de forma (x,y), una parella ordenada.

La tria de les lletres ve de la convenció de fer servir les últimes lletres de l'abecedari per a indicar variables incògnites. Per contra la primera part de l'abecedari es fa servir per designar constants conegudes.

A la Figura 3 s'indica un exemple d'un punt P, fent servir les coordenades (3,5).

La intersecció dels dos eixos crea quatre regions, anomenades quadrants, que s'indiquen amb els nombres romans I (+,+), II (−,+), III (−,−), i IV (+,−). Per convenció, s'etiqueten en sentit contrari de les agulles del rellotge començant a partir del de dalt a la dreta ("nord-est"). En el primer quadrant, totes dues coordenades són positives, en el segon quadrant les coordenades x són negatives i les coordenades y són positives, al tercer quadrant totes dues coordenades són negatives i al quart quadrant, les coordenades, x són positives i les coordenades y són negatives (vegeu la taula de més avall.)

Coordenada	Primer quadrant (I)	Segon quadrant (II)	Tercer quadrant (III)	Quart quadrant (IV)
x	+	-	-	+
y	+	+	-	-

Gràcies al sistema de coordenades els punts del pla s'identifiquen amb parelles de nombres reals el conjunt de les parelles de nombres reals s'anomena R². Els sitema de coordenades cartesianes permet assignar un element del conjunt R² a cada punt del pla.

En general el conjunt C que s'obté formant el conjunt de totes les parelles d'elements d'altres dos conjunts A i B a base d'agafar un element de A i un de B, per analogia amb això, s'anomena el producte cartesià de A per B. Fixeu-vos que si A i B tenen un nombre finit d'elements (rang(A) i rang(B) respectivament), el nombre de parelles que es formen (i per tant el nombre d'elements del seu producte cartesià) és rang(C) = rang(A) x rang(B i en el cas que A = B rang(C) = rang(A)² el conjunt C també s'escriu C = A x B o C = A² si A=B. En el cas de conjunts amb un nombre infinit d'elements això no passa, però per analogia també s'anomena RxR=R² al conjunt de les parelles d'elements de R.

Canvi de sistema de coordenades

Fixeu-vos que al triar un sistema de coordenades per identificar els punts del pla s'introdueix una certa arbitrarietat. Per determinar les posicions relatives entre tres punts n'hi ha prou amb tres nombres reals (les longituds dels tres costats del triangle que defineixen) però en un sistema de coordenades cartesià se'n fan servir sis (dues coordenades per cada punt) a partir d'aquests tres punts per cada nou punt calen dues distàncies a dos dels punts anteriors però sempre hi ha els tres nombres reals en excés. Un altre forma de dir el mateix és que es pot triar un altre punt per fer de origen del sistema de coordenades (que queda definit per dos nombres reals, que són les seves coordenades) i es pot girar els eixos entorn al origen. El fet de canviar l'origen i girar els eixos fa que les coordenades que representen els punts del pla canviïn però els punts segueixen essent els mateixos.

Es diu canvi de sistema de coordenades al procediment de calcular les noves coordenades que li corresponen a cada punt en canviar l'origen i o l'orientació dels eixos d'un sistema de coordenades.

Traslació de l'origen

Translació de l'origen en coordenades cartesianes

A partir d'un sistema de coordenades inicial S1 amb origen a O i eixos x e y

$S1=\{O;\;x,y\}$

SI les coordenades d'un punt A donat, Al sistema S1 són:

$A=(x_{A},\;y_{A})$

Es tracta de trobar les coordenades de A en un altre sistema de referència S2

$S2=\{O^{\prime };\;x^{\prime },y^{\prime }\}$

Tal que els eixos dels dos sistemes (x, x´; y y, y´) són paral·lels dos a dos i les coordenades de O´, respecte de S1 són:

$O^{\prime }=(x_{O^{\prime }},\;y_{O^{\prime }})$

Les coordenades de A en S2 s'anomenaràn:

$A^{\prime }=(x_{A}^{\prime },\;y_{A}^{\prime })$

Veient la figura s'observa que:

$x_{A}^{\prime }=x_{A}-x_{O^{\prime }}$

$y_{A}^{\prime }=y_{A}-y_{O^{\prime }}$

Rotació entorn a l'origen

Rotació entorn a l'origen en coordenades cartesianes

A partir del sistema de coordenades pla S1 amb origen O i eixos x i y:

$S1=\{O;\;x,y\}$

S'expressa el punt en base a dos punts:

$B1=\{{\vec {i}},{\vec {j}}\}$

Tals que en els sistema inicial sistema sigui $i=\left({1,0}\right),j=\left({0,1}\right)$, llavors, un punt qualsevol A del pla, es pot escriure:

${A}=x_{A}\,{\vec {i}}+y_{A}\,{\vec {j}}$

Per a un segon sistema S2 tal que està girat un angle $\alpha \,$, respecte del primer:

$S2=\{O;\;x^{\prime },y^{\prime }\}$

Com que els punts i i j del primer sistema expressats en aquest segon són:

${\begin{array}{l}i=\left({\cos \alpha ,-\sin \alpha }\right)\\j=\left({\sin \alpha ,\cos \alpha }\right)\\\end{array}}$

El punt A és:

$A=x_{A}\left({\cos \alpha ,-\sin \alpha }\right)+y_{A}\left({\sin \alpha ,\cos \alpha }\right)$

I operant resulta:

$A=\left({x_{A}\cos \alpha +y_{A}\sin \alpha ,y_{A}\cos \alpha -x_{A}\sin \alpha }\right)$

Per tant:

$x_{A}^{\prime }=\;x_{A}\,\cos {\alpha }+y_{A}\,\sin {\alpha }$

$y_{A}^{\prime }=-x_{A}\,\sin {\alpha }+y_{A}\,\cos {\alpha }$

Que són les coordenades de A en B2, en funció de las coordenades de A en B1 y de ${\alpha }\,$.

distància entre dos punts

Distància entre dos punts.

Si es tenen dos punts P₁ i P₂ representats per les seves coordenades cartesianes en un determinat sistema de referència: (x₁, y₁) i (x₂,y₂) per calcular la distància entre ells només cal plantejar el càlcul de la diagonal del triangle rectangle que es presenta a la figura, aplicant el teorema de pitàgores s'obté que la distancia és:

$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

Equacions de la recta. Posició relativa de rectes.

En el cas d'equacions s'ha vist que n'hi ha que són indeterminades perquè tenen infinites solucions. Per exemple l'equació:

$x^{2}+y^{2}=1\,$

Per a cada valor de x entre -1 i 1 n'hi ha dos de y que compleixen l'equació:

$y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$

Si les parelles de valors (x,y) que són solució d'aquesta equació es representen en un sistema de coordenades cartesianes s'observa que compleixen la propietat de que per a tots ells la distància al origen és 1. Per tant aquests punts formen una circumferència amb centre al origen i radi 1.

Es tracta de veure quines equacions són les que tenen per solucions els conjunts de punts que formen les línies rectes.

Si una recta passa per dos punts P₁ i P₂ amb coordenades (x₁, y₁) i (x₂,y₂) respectivament, el triangle que es dibuixa per calcular la distància entre aquests dos punts ha de ser semblant al triangle que es dibuixa per calcular la distància entre el primer punt i qualsevol altre punt P de la recta de coordenades (x,y). Per tant s'ha de complir que:

${\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\frac {y{}_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

Aquesta és una forma d'expressar l'equació de la recta. És a dir totes les parelles de nombres reals (x,y) que són solució d'aquesta equació, compleixen la condició de que representats en un sistema de coordenades cartesianes formen una línia recta que passa pels punts P₁ i P₂.

Equació explícita

A partir d'aquesta equació, operant, s'obté la següent equació equivalent, que com que és equivalent té les mateixes solucions i per tant també és l'equació de la recta que passa per aquests dos punts:

${\begin{aligned}&y-y_{1}={\frac {y{}_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot \left(x-x_{1}\right)\\&y-y_{1}={\frac {y{}_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot x-{\frac {y{}_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot x_{1}\\&y=\left({\frac {y{}_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\right)\cdot x-{\frac {y{}_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot x_{1}+y_{1}\\&y=\left({\frac {y{}_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\right)\cdot x-{\frac {y{}_{2}\cdot x_{1}-y_{1}\cdot x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}+{\frac {y_{1}\cdot \left(x_{2}-x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}}\\&y=\left({\frac {y{}_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\right)\cdot x+{\frac {-y{}_{2}\cdot x_{1}+y_{1}\cdot x_{1}+y_{1}\cdot x_{2}-y_{1}\cdot x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\\&y=\left({\frac {y{}_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\right)\cdot x+{\frac {y_{1}\cdot x_{2}-y{}_{2}\cdot x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\\\end{aligned}}$

Fixeu-vos en el significat de la constants que multiplica la desconeguda x i la constant que se suma.

Quan x val zero el valor de y és el punt de l'eix y tallat per la recta és a dir és l'ordenada del punt d'intersecció entre la recta i l'eix y. Aquesta constant normalment es nota amb la lletra b.

La constant que multiplica x significa la magnitud que ha d'augmentar y cada vegada que x augmenta una unitat això és el que s'anomena pendent de la recta i normalment es nota amb la lletra m. Per tant, fent:

${\begin{aligned}&b={\frac {y_{1}\cdot x_{2}-y{}_{2}\cdot x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\\&m={\frac {y{}_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\\\end{aligned}}$

L'equació de la recta queda de la forma:

$y=m\cdot x+b$

D'aquesta forma d'expressar l'equació de la recta se'n diu equació explícita.

Equació implícita

Un altre forma és l'anomenada equació general o equació implícita, és de la forma:

$A\cdot x+B\cdot y+C=0$

Fixeu-vos que una mateixa recta té infinites equacions implícites equivalents, això és fàcil de veure a partir de l'equació explícita operant amb ella per tal d'obtenir equacions implícites equivalents:

${\begin{aligned}&y=m\cdot x+b\\&m\cdot x+(-1)\cdot y+b=0\\&k\cdot m\cdot x+k\cdot (-1)\cdot y+k\cdot b=0\\&A=k\cdot m,\quad B=k\cdot (-1),\quad C=k\cdot b\\\end{aligned}}$

On k és una constant arbitrària diferent de zero qualsevol.

Equació canònica

Un altre forma d'expressar l'equació de la recta s'obté operant altre cop a partir de l'expressió explícita de la següent manera:

${\begin{aligned}&y=m\cdot x+b\\&y-m\cdot x=b\\&{\frac {y-m\cdot x}{b}}=1\\&{\frac {y}{b}}+\left({\frac {-m}{b}}\right)\cdot x=1\\\end{aligned}}$

Ara fent:

$a={\frac {-b}{m}}$

queda:

${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1$

Aquesta forma d'expressar l'equació se'n diu equació canònica. Fixeu-vos en el significat de les constants. La constant b ja s'ha comentat abans és l'ordenada del punt d'intersecció entre la recta i l'eix y. En el punt on y = 0, aplicant-lo a l'equació canònica resulta x = a, per tant la constant a és l'ordenada del punt d'intersecció entre la recta i l'eix x.

Posició relativa de rectes

Dues rectes en un pla poden tenir tres posicions relatives:

1. Es tallen en un punt.
2. Són paral·leles. És a dir no es tallen enlloc.
3. Coincideixen. (és a dir són la mateixa recta).

La forma de detectar aquestes situacions a partir de les equacions de les rectes es basa en examinar que succeix amb el sistema d'equacions format per les dues equacions.

En cas que les rectes es tallin hi ha un únic punt que és solució al mateix temps de les dues equacions (perquè hi ha un únic punt que compleix la condició de pertànyer a la primera recta i també compleix la condició de pertànyer a la segona) per tant el sistema d'equacions és un sistema determinat i té una solució única. De fet la forma de trobar el punt d'intersecció entre les dues rectes consisteix en resoldre el sistema de les dues equacions.

En cas que les rectes coincideixin totes les solucions d'una de les equacions també són solucions de l'altre, perquè les dues rectes són la mateixa i tots els punts que pertanyen a l'una pertanyen també a l'altre. Per tant el sistema d'equacions és indeterminat i té infinites solucions.

En cas que les rectes siguin paral·leles no hi ha cap solució d'una equació que també sigui solució de l'altre, per tant el sistema d'equacions és incompatible.

Distància entre un punt i una recta

La distància d'un punt a una recta es pot definir de dues maneres:

• La distància del punt al punt de la recta que fa que aquesta distància sigui mínima.
• La distància entre el punt i el punt de la recta que s'obté tallant-la per una perpendicular que passi pel punt.

Per veure que aquestes dues definicions són equivalents cal estudiar primer càlcul ifinitessimal. Després d'estudiar el capítol de derivades torneu aquí i seguiu llegint.

• • • • • Manca demostració les dues definicions són equivalents ****

De moment salteu a la següent secció on es fa el càlcul a a partir de la segona definició.

Determinació de l'equació d'una recta que passa per un punt donat i té una pendent donada

Si una recta passa pel punt (x₀,y₀) i té pendent m, llavors qualsevol punt (x,y) d'aquesta recta ha de complir l'equació:

$y=y_{0}+m\cdot \left(x-x_{0}\right)$

Donat que l'augment en y ha de ser proporcional a l'augment en x i la constant de proporcionalitat ha de ser el pendent de la recta m. Operant s'obté immediatament l'equació explícita de la recta:

$y=m\cdot x+\left(y_{0}-m\cdot x_{0}\right)$

Determinació de l'equació de la recta perpendicular a una recta donada que passa per un punt donat

Fixeu-vos que el pendent d'una recta és la tangent de l'angle que forma la recta amb l'eix x. La recta perpendicular a una donada forma un algle 90° més, per tant la tangent que forma amb l'eix x és la inversa.

Per tant si una recta passa pel punt (x₀,y₀) i és perpendicular a una recta que té pendent m, llavors és la recta que passa per (x₀,y₀) i té pendent 1/m: i la seva equació és:

$y={\frac {1}{m}}\cdot x+\left(y_{0}-{\frac {1}{m}}\cdot x_{0}\right)$

Càlcul de la distància d'un punt a una recta

Donada una recta d'equació: $y=m\cdot x+b$ i un punt (x₀,y₀), per trobar la distància del punt a la recta, primer es troba la recta que passa pel punt i que és perpendicular a la recta donada:

$y={\frac {1}{m}}\cdot x+\left(y_{0}-{\frac {1}{m}}\cdot x_{0}\right)$

Llavors es resol el sistema d'equacions per trobar el put d'insresecció d'aquesta recta amb la original:

$\left\{{\begin{matrix}y={\frac {1}{m}}\cdot x+\left(y_{0}-{\frac {1}{m}}\cdot x_{0}\right)\\y=m\cdot x+b\\\end{matrix}}\right.$

Operant s'obté:

${\begin{aligned}&{\frac {1}{m}}\cdot x+\left(y_{0}-{\frac {1}{m}}\cdot x_{0}\right)=m\cdot x+b\\&y_{0}-{\frac {1}{m}}\cdot x_{0}-b=\left(m-{\frac {1}{m}}\right)\cdot x\\&y_{0}-{\frac {1}{m}}\cdot x_{0}-b={\frac {m^{2}-1}{m}}\cdot x\\&x={\frac {m}{m^{2}-1}}\cdot \left(y_{0}-{\frac {1}{m}}\cdot x_{0}-b\right)\\&x={\frac {m\cdot y_{0}-x_{0}-m\cdot b}{m^{2}-1}}\\&y=m\cdot {\frac {m\cdot y_{0}-x_{0}-m\cdot b}{m^{2}-1}}+b\\\end{aligned}}$

Per acabar es calcula la distància del punt (x₀,y₀) al punt (x,y) que s'ha trobat:

${\sqrt {\left(x_{0}-{\frac {m}{m^{2}-1}}\cdot \left(y_{0}-{\frac {1}{m}}\cdot x_{0}-b\right)\right)^{2}+\left(y_{0}-\left(m\cdot {\frac {m\cdot y_{0}-x_{0}-m\cdot b}{m^{2}-1}}+b\right)\right)^{2}}}$

Operant es pot simplificar aquesta expressió fins a obtenir:

${\begin{aligned}&{\sqrt {\left({\frac {x_{0}\cdot \left(m^{2}-1\right)}{m^{2}-1}}-{\frac {m\cdot y_{0}-x_{0}-m\cdot b}{m^{2}-1}}\right)^{2}+\left({\frac {y_{0}\cdot \left(m^{2}-1\right)}{m^{2}-1}}-\left({\frac {m^{2}\cdot y_{0}-m\cdot x_{0}-m^{2}\cdot b}{m^{2}-1}}+{\frac {b\cdot \left(m^{2}-1\right)}{m^{2}-1}}\right)\right)^{2}}}\\&{\sqrt {\left({\frac {x_{0}\cdot m^{2}-x_{0}-m\cdot y_{0}+x_{0}+m\cdot b}{m^{2}-1}}\right)^{2}+\left({\frac {y_{0}\cdot m^{2}-y_{0}-m^{2}\cdot y_{0}+m\cdot x_{0}+m^{2}\cdot b-b\cdot m^{2}+b}{m^{2}-1}}\right)^{2}}}\\&{\sqrt {\left({\frac {x_{0}\cdot m^{2}-m\cdot y_{0}+m\cdot b}{m^{2}-1}}\right)^{2}+\left({\frac {-y_{0}+m\cdot x_{0}+b}{m^{2}-1}}\right)^{2}}}\\&{\frac {\sqrt {\left(x_{0}\cdot m^{2}-m\cdot y_{0}+m\cdot b\right)^{2}+\left(-y_{0}+m\cdot x_{0}+b\right)^{2}}}{m^{2}-1}}\\\end{aligned}}$

Mòdul, direcció i sentit d'un vector.

En un espai de dimensió 2 com el pla, es pot explicar el concepte de vector relacionant-lo amb la idea de desplaçament. Quan s'ha estudiat el sistema de coordenades cartesianes s'ha vist que si es desplaça l'origen les coordenades dels punts canvien d'una determinada manera, però el desplaçament en si queda completament determinat per les coordenades del nou origen. Un vector es pot fer servir per representar el desplaçament des de l'origen actual fins al nou origen. Així tots els punts del pla representen possibles desplaçaments.

La diferència entre els punts del pla quan representen punts i quan representen desplaçaments és que, quan representen punts, el sistema de referència és arbitrari, mentre que, quan representen desplaçaments, no es pot canviar l'origen, altrament el punt representaria un desplaçament diferent. Compte que el que si que es pot canviar és l'orientació dels eixos i això dóna lloc al concepte de canvi de base.

Per això els vectors no es representen com a punts sinó com a fletxes que van des de l'origen fins al punt.

El desplaçament va des de l'origen fins al punt que es fa servir per representar-lo. La distància entre l'origen i el punt es diu mòdul del vector en el cas d'un desplaçament és la distància recorreguda en el desplaçament. La recta definida per l'origen i el punt es diu la direcció del vector i el sentit de la recta des de l'origen fins al punt es diu el sentit del vector.

En física els vectors es fan servir per representar diferents magnituds, per exemple el desplaçament o per exemple la velocitat si es genera un nou vector dividint el mòdul del desplaçament entre el temps que s'ha tardat en produir-lo (seria el desplaçament produït en una unitat de temps si el moviment és uniforme).

Les coordenades del vector que va des de l'origen fins al punt (2,3) són (2,3)

Components d'un vector. Operacions amb vectors.

Ja s'ha comentat que els vectors es representen com a fletxes que van des de l'origen fins al punt que es fa servir per indicar el desplaçament que representa el vector. Llavors les coordenades d'aquest punt són les components del vector en aquest sistema d'eixos.

suma de dos vectors

La idea de que els vectors en l'espai de dimensió 2 poden representar desplaçaments dóna una idea de com definir la operació de suma. Es tracta de trobar el desplaçament combinat de fer primer el que representa un vector i després el que representa l'altre.

Fixeu-vos en la imatge de la dreta que això és equivalent a dibuixar el segon vector a continuació del primer i llavors el vector suma serà el que va des de l'origen fina al final del segon vector. Fixeu-vos també que aquesta operació és commutativa perquè si es fa en ordre invers s'arriba al mateix punt final.

Pel que fa a les coordenades observant el dibuix es veu que la coordenada x del vector suma és la suma algebraica de les coordenades x dels vectors sumands i la coordenada y del vector suma és la sua algebraica de les coordenades y dels vectors sumands.

Multiplicació d'un vector per l'escalar 3.

A partir d'aquesta definició de suma de vectors, resulta que si un vector se suma amb si mateix un nombre natural n de vegades el resultat és un altre vector que té la mateixa direcció i sentit però el mòdul n vegades més gran i les seves components són el resultat de multiplicar per n les components del vector original.

Això dona la idea de com definir el producte d'un vector per un nombre real: És un vector que té la mateixa direcció i sentit que el vector original i que el seu mòdul és el resultat de multiplicar el mòdul del vector original pel nombre real. Les components del vector són el resultat de multiplicar pel nombre real les components del vector original. D'aquesta operació se'n diu producte per un escalar o producte d'un vector per un escalar.

Un cop definides la suma de vectors i el producte escalar, fixeu-vos que tots els vectors del pla es poden expressar de la següent forma:

${\overset {\to }{\mathop {v} }}\,=x{\overset {\to }{\mathop {i} }}\,+y{\overset {\to }{\mathop {j} }}\,$

On x i y són les coordenades cartesianes del vector v i i i j són vectors de longitud 1 i sentit positiu, el primer en la direcció de l'eix x i el segon en la direcció de l'eix y. El conjunt d'aquestos dos vectors s'anomena una base del conunt de vectors del pla i el conjunt de vectors del pla amb la operació de suma vectorial i la operació de producte escalar s'anomena espai vectorial de dimensió 2 sobre el conjunt dels nombres reals.

Aquesta observació permet estendre el concepte de vector a casos més abstractes. En matemàtiques s'anomena vector a tot element que pertanyi a un espai vectorial. Un espai vectorial és un conjunt en el que s'han definit la operació de suma dels elements i de producte d'un dels seus elements per un element d'un altre conjunt anomenat escalar i en el que aquestes opercions compleixen unes determinades propietats. Les propietats que han de complir aquestes operacions són:

1. La suma de dos vectors:
   1. És un vector. (El conjunt és tancat respecte de la suma de vectors).
   2. Té la propietat associacitva.
   3. Té la propietat commutativa.
   4. Hi ha un element neutre. Un vector 0 que sumat a qualsevol altre dóna l'altre.
   5. Cada vector té un element oposat. Un vector que sumant-li dóna el neutre, és a dir dóna zero.
2. El conjunt d'escalars F té definides dues operacions notades + i * que tenen les següents propietats:
   1. Clausura d'F respecte + i * : Per a tots elements a i b de F, tant a + b com a * b pertanyen a F (o més formalment, + i * són operacions binàries en F).
   2. Tant + com * són associatives : Per a tot a, b, c en F, a + (b + c) = (a + b) + c i a * (b * c) = (a * b) * c.
   3. Tant + com * són commutatives : Per a tot a, b en F, a + b = b + a i a * b = b * a.
   4. L'operació * és distributiva respecte la suma + : Per a tots a, b, c, en F, a * (b + c) = (a * b) + (a * c).
   5. Existència d'element neutre per la suma : Existeix un element 0 en F, tal que per a tot a en F, a + 0 = a.
   6. Existència d'element neutre per la multiplicació : Existeix un element 1 en F, diferent del 0, tal que per a tot a en F, a * 1 = a.
   7. Existència d'element invers per la suma : Per a tot a en F, existeix un element −a en F, tal que a + (−a) = 0.
   8. Existència d'element invers per la multiplicació: Per a tot element a ≠ 0 en F, existeix un element a⁻¹ en F, tal que a * a⁻¹ = 1.
3. El producte escalar té les següents propietats:
   1. El producte d'un escalar per un vector és un vector.
   2. És lo mateix multiplicar un escalar pel resultat de multiplicar un altre escalar per un vector que multiplicar primer els dos escalars i llavors multiplicar el resultat pel vector.
   3. L'element neutre del cos és l'element neutre del producte escalar. (Multiplicar un vector per l'escalar 1 dóna el mateix vector)
   4. El producte escalar té la propietat distributiva respecte de la suma de vectors.
   5. El producte escalar té la propietat distributiva respecte de la suma d'escalars.

Fixeu-vos que les propietats del segon grup són les que compleixen per exemple els nombres reals.

Aquest enfocament permet estendre el concepte a conjunts de més dimensions, per exemple a l'espai de tres dimensions i a conjunts de dimensions infinites.

Resta de vectors

La definició de la resta de vectors com la operació inversa de la suma permet plantejat el següent:

${\overset {\to }{\mathop {u} }}\,+{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,={\overset {\to }{\mathop {w} }}\,\Rightarrow {\overset {\to }{\mathop {w} }}\,-{\overset {\to }{\mathop {u} }}\,={\overset {\to }{\mathop {v} }}\,$

Escrivint el vector com a combinació lineal d'una base s'obté:

${\begin{aligned}&{\overset {\to }{\mathop {u} }}\,+{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,={\overset {\to }{\mathop {w} }}\,\Rightarrow {\overset {\to }{\mathop {w} }}\,-{\overset {\to }{\mathop {u} }}\,={\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\\&\left(u_{1}\cdot {\overset {\to }{\mathop {e_{1}} }}\,+u_{2}\cdot {\overset {\to }{\mathop {e_{2}} }}\,+\ldots \right)+\left(v_{1}\cdot {\overset {\to }{\mathop {e_{1}} }}\,+v_{2}\cdot {\overset {\to }{\mathop {e_{2}} }}\,+\ldots \right)=\left(w_{1}\cdot {\overset {\to }{\mathop {e_{1}} }}\,+w_{2}\cdot {\overset {\to }{\mathop {e_{2}} }}\,+\ldots \right)\\&\left\{{\begin{matrix}u_{1}+v_{1}=w_{1}\\u_{2}+v_{2}=w_{2}\\\vdots \\\end{matrix}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}w_{1}-u_{1}=v_{1}\\w_{2}-u_{2}=v_{2}\\\vdots \\\end{matrix}}\right.\\\end{aligned}}$

Per tant ha de ser:

${\begin{aligned}{\overset {\to }{\mathop {w} }}\,-{\overset {\to }{\mathop {u} }}\,&=\left(\left(w_{1}-u_{1}\right)\cdot {\overset {\to }{\mathop {e_{1}} }}\,+\left(w_{2}-u_{2}\right)\cdot {\overset {\to }{\mathop {e_{2}} }}\,+\ldots \right)\\&=\left(w_{1}\cdot {\overset {\to }{\mathop {e_{1}} }}\,+w_{2}\cdot {\overset {\to }{\mathop {e_{2}} }}\,+\ldots \right)+\left(\left(-1\right)u_{1}\cdot {\overset {\to }{\mathop {e_{1}} }}\,+\left(-1\right)u_{2}\cdot {\overset {\to }{\mathop {e_{2}} }}\,+\ldots \right)\\&=\left(w_{1}\cdot {\overset {\to }{\mathop {e_{1}} }}\,+w_{2}\cdot {\overset {\to }{\mathop {e_{2}} }}\,+\ldots \right)+\left(-1\right)\left(u_{1}\cdot {\overset {\to }{\mathop {e_{1}} }}\,+u_{2}\cdot {\overset {\to }{\mathop {e_{2}} }}\,+\ldots \right)\\&={\overset {\to }{\mathop {w} }}\,+\left(-1\right){\overset {\to }{\mathop {u} }}\,\\\end{aligned}}$

Per tant restar dos vectors és sumar al minuend el subtrahend multiplicat per l'oposat de l'element neutre de la segona operació del conjunt d'escalars, en el cas dels nombres reals per -1.

Si els vectors es corresponen amb fletxes que van del origen a un punt del pla, el resultat de multiplicar per -1 és canviar de signe les dues components i per tant és un vector amb el mateix mòdul i la mateixa direcció però amb sentit contrari que el vector original. Per tant restar dos vectors en aquest cas és sumar al minuend el subtrahend canviant-li primer el sentit. Sia un vector se li resta ell mateix, en sumar-li el mateix vector canviat de sentit es torna al origen, per tant el resultat és un vector que va del origen al origen. Aquest vector és el vector nul i té per components (0,0) també és l'element neutre de la suma vectorial perquè sumat a qualsevol altre vector el resultat dona aquest altre vector.

Producte escalar de dos vectors

Les operacions que s'han estudiat fins aquí, assignaven com a resultat un vector, ja sigui a una parella de vectors, ja sigui a una parella formada per un vector i un nombre real. Es tracta de veure com es pot definir una operació que a una parella de vectors els hi assigni un escalar (un nombre real). En un espai vectorial, un producte escalar és una operació que a cada parella de vectors els hi assigna com a resultat de la operació un escalar cal crear un nou símbol per representar a questa operació. En alguns textos es fa servir el punt de multiplicar i el significat de quin tipus de producte es tracta es dedueix pel fet que els operands són vectors, per exemple si a i b són vectors a·b vol dir producte escalar de a per b. Per evitar confusió en altres textos es fiquen els dos vectors entre els símbols <a,b > separats per una coma i vol dir exactament el mateix, producte escalar dels vectors a i b.

És interessant veure que imposant unes propietats força naturals el producte escalar queda completament determinat.

Per definir aquest producte s'imposa que compleixi una propietat que s'anomena bilinealitat això vol dir que:

1. Si es multiplica escalarment la suma de dos vectors per un tercer, que el resultat sigui el mateix que multiplicar cada un per separat i després sumar els resultats.
2. Si primer es multiplica un vector per un nombre real i després es multiplica el vector resultant escalarment per un segon vector el resultat sigui el mateix que multiplicar escalarment els dos vectors i multiplicar el resultat per l'escalar.
3. El mateix que 1) però si és el segon vector el que és resultat d'una suma.
4. El mateix que 2) però si és el segon vector el que és resultat d'un producte per un nombre real.

També s'imposa que sigui definit positiu això vol dir que el resultat sigui sempre positiu (més gran o igual que zero) i que el producte escalar d'un vector per ell mateix només sigui zero si és el vector nul.

Si $\lambda$ i $\mu$ són nombres reals això s'expressa de la següent manera:

${\begin{aligned}&\left\langle \left(\lambda {\overset {\to }{\mathop {u} }}\,+\mu {\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\right),{\overset {\to }{\mathop {w} }}\,\right\rangle =\lambda \left\langle {\overset {\to }{\mathop {u} }}\,,{\overset {\to }{\mathop {w} }}\,\right\rangle +\mu \left\langle {\overset {\to }{\mathop {v} }}\,,{\overset {\to }{\mathop {w} }}\,\right\rangle \\&\left\langle {\overset {\to }{\mathop {u} }}\,,\left(\lambda {\overset {\to }{\mathop {v} }}\,+\mu {\overset {\to }{\mathop {w} }}\,\right)\right\rangle =\lambda \left\langle {\overset {\to }{\mathop {u} }}\,,{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\right\rangle +\mu \left\langle {\overset {\to }{\mathop {v} }}\,,{\overset {\to }{\mathop {w} }}\,\right\rangle \\&\left\langle {\overset {\to }{\mathop {u} }}\,,{\overset {\to }{\mathop {u} }}\,\right\rangle \geq 0\\&\left\langle {\overset {\to }{\mathop {u} }}\,,{\overset {\to }{\mathop {u} }}\,\right\rangle =0\Leftrightarrow {\overset {\to }{\mathop {u} }}\,={\overset {\to }{\mathop {0} }}\,\\\end{aligned}}$

On $\left\langle {\overset {\to }{\mathop {u} }}\,,{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\right\rangle$ vol dir, el producte escalar del vector u pel vector v.

Amb aquestes propietats, per definir un producte escalar només cal definir el valor del producte escalar de totes les parelles de vectors d'una base perquè sempre es pot plantejar:

${\begin{aligned}\left\langle {\overset {\to }{\mathop {u} }}\,,{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\right\rangle &=\left\langle \left(\alpha _{u}{\overset {\to }{\mathop {e_{1}} }}\,+\beta _{u}{\overset {\to }{\mathop {e_{2}} }}\,\right),\left(\alpha _{v}{\overset {\to }{\mathop {e_{1}} }}\,+\beta _{v}{\overset {\to }{\mathop {e_{2}} }}\,\right)\right\rangle \\&=\alpha _{u}\left\langle {\overset {\to }{\mathop {e_{1}} }}\,,\left(\alpha _{v}{\overset {\to }{\mathop {e_{1}} }}\,+\beta _{v}{\overset {\to }{\mathop {e_{2}} }}\,\right)\right\rangle +\beta _{u}\left\langle {\overset {\to }{\mathop {e_{2}} }}\,,\left(\alpha _{v}{\overset {\to }{\mathop {e_{1}} }}\,+\beta _{v}{\overset {\to }{\mathop {e_{2}} }}\,\right)\right\rangle \\&=\alpha _{u}\alpha _{v}\left\langle {\overset {\to }{\mathop {e_{1}} }}\,,{\overset {\to }{\mathop {e_{1}} }}\,\right\rangle +\alpha _{u}\beta _{v}\left\langle {\overset {\to }{\mathop {e_{1}} }}\,,{\overset {\to }{\mathop {e_{2}} }}\,\right\rangle +\beta _{u}\alpha _{v}\left\langle {\overset {\to }{\mathop {e_{2}} }}\,,{\overset {\to }{\mathop {e_{1}} }}\,\right\rangle +\beta _{u}\beta _{v}\left\langle {\overset {\to }{\mathop {e_{2}} }}\,,{\overset {\to }{\mathop {e_{2}} }}\,\right\rangle \\\end{aligned}}$

La forma més senzilla possible de fer aquesta definició és fer:

$\left\{{\begin{matrix}\left\langle {\overset {\to }{\mathop {e_{i}} }}\,,{\overset {\to }{\mathop {e_{j}} }}\,\right\rangle =0\quad si\quad i\neq j\\\left\langle {\overset {\to }{\mathop {e_{i}} }}\,,{\overset {\to }{\mathop {e_{j}} }}\,\right\rangle =1\quad si\quad i=j\\\end{matrix}}\right.$

Fixeu-vos que el producte escalar d'un vector de la base per si mateix no es pot definir com a zero perquè al no ser zero el vector si es definís com a zero, no es compliria la quarta propietat. Fixeu-vos també que assignar-li un nombre diferent de 1 (que ha de ser sempre positiu per complir la tercera propietat) és indiferent perquè es pot construir un altre base multiplicant el vector per l'invers de l'arrel quadrada del nombre assignat i el resultat és un vector que multiplicat escalarment per si mateix dóna 1.

En aquest cas el producte escalar de dos vectors es pot calcular com:

$\left\langle \left(\alpha _{u},\beta _{u}\right),\left(\alpha _{v},\beta _{v}\right)\right\rangle =\alpha _{u}\alpha _{v}+\beta _{u}\beta _{v}$

Per veure-ho només cal substituir la definició dels valors del producte de les bases a l'expressió anterior.

Al haver definit el producte escalar de dos vectors en base a les propietats respecte de les components dels vectors en una determinada base provoca un dubte: Què passa si els mateixos vectors s'expressen en una base diferent? el seu producte escalar donarà un valor diferent? Si el resultat fos diferent, llavors no n'hi hauria prou en dir producte escalar de dos vectors, caldria dir producte escalar de dos vectors i esmentar la base en la que cal expressar els vectors per calcular-lo.

En el cas dels vectors del pla on la base són els vectors de longitud unitària del sistema de coordenades cartesianes, el canvi de base no pot canviar l'origen, només pot ser una rotació entorn al origen per tant aplicant les fórmules que s'han trobat en la rotació d'un sistema de coordenades resulta que dos vectors (x_A,y_A) i (x_B,y_B) en girar el sistema de coordenades un angle α es transformen en:

${\begin{aligned}&{x}'_{A}=x_{A}\cos \alpha +y_{A}\sin \alpha \\&{y}'_{A}=-x_{A}\sin \alpha +y_{A}\cos \alpha \\&{x}'_{B}=x_{B}\cos \alpha +y_{B}\sin \alpha \\&{y}'_{B}=-x_{B}\sin \alpha +y_{B}\cos \alpha \\\end{aligned}}$

Per tant el producte escalar en aquest segon sistema de referència dóna:

${\begin{aligned}&{x}'_{A}\cdot {x}'_{B}+{y}'_{A}\cdot {y}'_{B}=\left(x_{A}\cos \alpha +y_{A}\sin \alpha \right)\cdot \left(x_{B}\cos \alpha +y_{B}\sin \alpha \right)+\left(-x_{A}\sin \alpha +y_{A}\cos \alpha \right)\cdot \left(-x_{B}\sin \alpha +y_{B}\cos \alpha \right)\\&=x_{A}\cos \alpha \cdot x_{B}\cos \alpha +x_{A}\cos \alpha \cdot y_{B}\sin \alpha +y_{A}\sin \alpha \cdot x_{B}\cos \alpha +y_{A}\sin \alpha \cdot y_{B}\sin \alpha +\left(-x_{A}\sin \alpha \right)\cdot \left(-x_{B}\sin \alpha \right)+\left(-x_{A}\sin \alpha \right)\cdot y_{B}\cos \alpha +y_{A}\cos \alpha \cdot \left(-x_{B}\sin \alpha \right)+y_{A}\cos \alpha \cdot y_{B}\cos \alpha \\&=x_{A}\cdot x_{B}\cos ^{2}\alpha +x_{A}\cdot y_{B}\cos \alpha \sin \alpha +y_{A}\cdot x_{B}\cos \alpha \sin \alpha +y_{A}\cdot y_{B}\sin ^{2}\alpha +x_{A}\cdot x_{B}\sin ^{2}\alpha -x_{A}\cdot y_{B}\cos \alpha \sin \alpha -y_{A}\cdot x_{B}\cos \alpha \sin \alpha +y_{A}\cdot y_{B}\cos ^{2}\alpha \\&=x_{A}\cdot x_{B}\cos ^{2}\alpha +y_{A}\cdot y_{B}\sin ^{2}\alpha +x_{A}\cdot x_{B}\sin ^{2}\alpha +y_{A}\cdot y_{B}\cos ^{2}\alpha \\&=x_{A}\cdot x_{B}\left(\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha \right)+y_{A}\cdot y_{B}\left(\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha \right)\\&=x_{A}\cdot x_{B}+y_{A}\cdot y_{B}\\\end{aligned}}$

Que és la mateix que en el primer. Per tant es pot parlar de producte escalar i no cal parlar de producte escalar respecte d'una base. Amés si es tria una base tal que el primer dels vectors només tingui component en l'eix x això permet una interpretació geomètrica del producte escalar: Fixeu-vos que en aquesta base el producte excalar serà igual al mòdul del primer vector per la component x del segon i la component x d'un vector és la projecció del vector sobre l'eix x és a dir el seu mòdul pel cosinus de l'angle que forma amb l'eix x. Com que el resultat del producte escalar és el mateix en tots els sistemes de referència, ha de ser sempre el mateix, per tant també es pot dir que el producte escalar de dos vectors és:

$\left\langle {\overset {\to }{\mathop {u} }}\,,{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\right\rangle ={\bmod {\left({\overset {\to }{\mathop {u} }}\,\right)}}\cdot {\bmod {\left({\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\right)}}\cdot \cos \omega$

On ω és l'angle que formen u i v. De fet en espais vectorials que no sogeixen de consideracions geomètriques com s'ha fet en la exposició d'aquest text aquesta propietat és la que es fa servir per definir angle entre dos vectos.

Aquesta propietat fa que el producte escalar tingui moltes aplicacions en física. Tot seguit s'expliquen dos exemples:

Exemple 1: Cabal d'aigua que travessa una superfície. Si en un canal ideal l'aigua té velocitat constant a tot arreu, la velocitat de l'aigua es pot representar per un vector que tingui com a mòdul la celeritat i com a direcció i sentit els del canal. Una superfície plana que talli el canal es pot representar per un vector perpendicular a la superfície amb un mòdul proporcional a l'àrea de la superfície. La quantitat d'aigua que travessa la superfície per unitat de temps (el cabal) serà el producte de la velocitat de l'aigua per la projecció de la superfície perpendicular a la velocitat de l'aigua, per tant serà el producte escalar del vector velocitat pel vector superfície. En canals reals en què la velocitat del aigua no és contant i per superfícies que no són planes, es divideix la superfície en bocins petits on la velocitat del aigua es pot aproximar per una velocitat constant i la superfície es pot aproximar per una superfície plana, es calcula el producte escalar en cada superfície i se sumen tots els resultats.

Exemple 2: Treball realitzat per una força sobre un objecte que es desplaça. Si es fa una força constant sobre un objecte que es desplaça al llarg d'un segment de línia recta, el segment de línia es pot representar per un vector que tingui un mòdul proporcional a la longitud que tingui la direcció de la recta i el sentit del desplaçament, la força es pot representar per un vector que tingui per mòdul la magnitud de la força i per direcció i sentit els de la força. Aquesta força es pot descompondre en dos components, un de paral·lel al desplaçament i un altre de perpendicular. El component paral·lel fa un treball igual al producte del seu mòdul pel desplaçament, el component perpendicular resta sempre equilibrat amb les fores que lliguen impedint-ne el desplaçament en aquesta direcció i no fa cap treball per tant el treball fet per la força és el producte escalar del vector força pel vector desplaçament. En el cas en què la força varii de modul i de direcció durant el desplaçament i que el camí seguit no sigui recte es pot aproximar per un conjunt de petits desplaçaments prou petits perquè es pugui aproximar el recorregut per un segment recte i la força per una força constant, calcular el treball en cada bocí pel producte escalar dels dos vectors en aquell bocí i llavors sumar-los tots.

Angle entre vectors. Paral·lelisme i perpendicularitat.

A partir de la propietat del producte escalar:

$\left\langle {\overset {\to }{\mathop {u} }}\,,{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\right\rangle ={\bmod {\left({\overset {\to }{\mathop {u} }}\,\right)}}\cdot {\bmod {\left({\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\right)}}\cdot \cos \omega$

Es pot calcular l'angle entre dos vectors fent sevir el producte escalar:

$\omega =\arccos {\frac {\left\langle {\overset {\to }{\mathop {u} }}\,,{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\right\rangle }{{\bmod {\left({\overset {\to }{\mathop {u} }}\,\right)}}\cdot {\bmod {\left({\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\right)}}}}$

O expressat a partir de les components dels vectors:

$\omega =\arccos {\frac {u_{x}\cdot v_{x}+u_{y}\cdot v_{y}}{{\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}}\cdot {\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}}}$

Si el vectors són perpendiculars, el cosinus de l'angle que formen és zero, per tant:

$u_{x}\cdot v_{x}+u_{y}\cdot v_{y}={\bmod {\left({\overset {\to }{\mathop {u} }}\,\right)}}\cdot {\bmod {\left({\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\right)}}\cdot 0=0$

Si són paral·lels el cosinus val 1 o -1

Per tant:

${\begin{aligned}&{\frac {u_{x}\cdot v_{x}+u_{y}\cdot v_{y}}{{\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}}\cdot {\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}}}=\pm 1\\&u_{x}\cdot v_{x}+u_{y}\cdot v_{y}=\pm {\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}}\cdot {\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\&\left(u_{x}\cdot v_{x}+u_{y}\cdot v_{y}\right)^{2}=\left(u_{x}^{2}+u_{y}^{2}\right)\cdot \left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\right)\\&u_{x}^{2}\cdot v_{x}^{2}+2u_{x}\cdot v_{x}\cdot u_{y}\cdot v_{y}+u_{y}^{2}\cdot v_{y}^{2}=u_{x}^{2}\cdot v_{x}^{2}+u_{x}^{2}\cdot v_{y}^{2}+u_{y}^{2}\cdot v_{x}^{2}+u_{y}^{2}\cdot v_{y}^{2}\\&2u_{x}\cdot v_{x}\cdot u_{y}\cdot v_{y}=u_{x}^{2}\cdot v_{y}^{2}+u_{y}^{2}\cdot v_{x}^{2}\\&2={\frac {u_{x}^{2}\cdot v_{y}^{2}}{u_{x}\cdot v_{x}\cdot u_{y}\cdot v_{y}}}+{\frac {u_{y}^{2}\cdot v_{x}^{2}}{u_{x}\cdot v_{x}\cdot u_{y}\cdot v_{y}}}\\&2={\frac {u_{x}\cdot v_{y}}{v_{x}\cdot u_{y}}}+{\frac {u_{y}\cdot v_{x}}{u_{x}\cdot v_{y}}}\\&2={\frac {u_{x}}{u_{y}}}\cdot {\frac {v_{y}}{v_{x}}}+{\frac {u_{y}}{u_{x}}}\cdot {\frac {v_{x}}{v_{y}}}\\&2={\frac {u_{x}}{u_{y}}}\cdot {\frac {1}{\frac {v_{x}}{v_{y}}}}+{\frac {1}{\frac {u_{x}}{u_{y}}}}\cdot {\frac {v_{x}}{v_{y}}}\\&2{\frac {u_{x}}{u_{y}}}=\left({\frac {u_{x}}{u_{y}}}\right)^{2}\cdot {\frac {1}{\frac {v_{x}}{v_{y}}}}+{\frac {v_{x}}{v_{y}}}\\&{\frac {1}{\frac {v_{x}}{v_{y}}}}\cdot \left({\frac {u_{x}}{u_{y}}}\right)^{2}-2{\frac {u_{x}}{u_{y}}}+{\frac {v_{x}}{v_{y}}}=0\\&{\frac {u_{x}}{u_{y}}}={\frac {2\pm {\sqrt {2^{2}-4\cdot {\frac {1}{\frac {v_{x}}{v_{y}}}}\cdot {\frac {v_{x}}{v_{y}}}}}}{2\cdot {\frac {1}{\frac {v_{x}}{v_{y}}}}}}\\&{\frac {u_{x}}{u_{y}}}={\frac {2\pm {\sqrt {4-4}}}{2\cdot {\frac {1}{\frac {v_{x}}{v_{y}}}}}}\\&{\frac {u_{x}}{u_{y}}}={\frac {v_{x}}{v_{y}}}\\\end{aligned}}$

És a dir, si els vectors són paral·lels els seus components són proporcionals.