Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/ESPA/Matemàtiques/Matemàtiques 2.2/Unitat 1. L'equació de segon grau/Problemes

Salta a la navegació Salta a la cerca

Llista de problemes.

De plantejament i resolució[modifica]

Problema 1[modifica]

Troba dos nombres naturals sabent que sumen 18 unitats i el seu producte és 77

Solució 1: assaig i error 
Si dos nombres naturals han de sumar 18, hi ha les següents possibilitats:
  • 0 i 18
  • 1 i 17
  • 2 i 16
  • 3 i 15
  • 4 i 14
  • 5 i 13
  • 6 i 12
  • 7 i 11
  • 8 i 10
  • 9 i 9

Totes les possibilitats sumen 18, però no totes tenen com a producte 77. Per exemple . Realitzam les operacions de multiplicació.

Com es pot observar, l'únic parell que té producte 77 és 7 i 11.


Solució 2: fórmules de Viète 
Les fórmules de Viète ens relacionen les solucions d'una equació de segon grau amb el seu producte i la seva suma.

Si aleshores les solucions compleixen que:

  • El producte:
  • La suma:

Per tant, construim l'equació

Per les fórmules de Viète, les solucions compliran que:

  • El producte serà , és a dir, 77.
  • La suma serà , és a dir, 18

Resolem l'equació tenint en compte que , ,

Els números 7 i 11 compleixen l'enunciat:

  • Sumats donen 18
  • Multiplicats donen 77


Solució 3: sistema d'equacions 
Diguem als dos nombres cercats.

Que la suma sigui 18 s'escriu:

Que el producte sigui 77 s'escriu:

Aleshores obtenim un sistema d'equacions:

El resolem per substitució. Per això, aïllam la a la primera equació i la substituïm a la segona equació.

Arreglam l'equació obtenguda:

Canviam el signe a tota l'equació:

Aplicam la fórmula general amb com abans i obtenim les solucions 7 i 11.

Un altre problema similar seria el següent:

Troba dos nombres la suma dels quals sigui 10 i el seu producte, 24

Problema 2[modifica]

La suma d'un nombre natural i el seu quadrat és 42. De quin nombre es tracta?

Solució 1: assaig i error 
Escrivim alguns números com a exemples i calculam quin seria el resultat:
  • Amb 1, la suma
  • Amb 2, la suma
  • Amb 3, la suma

Continuam la llista fins que trobem el resultat o ens passem.

  • Amb 4, la suma
  • Amb 5, la suma
  • Amb 6, la suma
Ens aturam al 6 i per tant aquest és el nombre solució.


Solució 2: equació de segon grau 
Diguem al nombre que demanen.

Aleshores escrivim la "suma del nombre i el seu quadrat és 42" com

Obtenim una equació de segon grau.

Col·locam i ordenam tots els termes al primer membre.

Resolem:

Descartam la solució negativa perquè l'enunciat demana un nombre natural.

El nombre cercat és 6

Problema 3[modifica]

Troba dos nombres naturals positius que es diferencien en 7 unitats, sabent que el seu producte és 44

Solució 1: assaig i error 
Si un dels nombres és 1, l'altre hauria de valer 8; si un és 2, l'altre és 9. Podem escriure la llista de nombres positius que es diferencien en 7 unitats:
  • 1 i 8
  • 2 i 9
  • 3 i 10
  • 4 i 11
  • Etc

N'hi ha infinits.

Per a cada parell calculam el producte. Continuam la llista fins que arribem a 44 o el sobrepassem.

Hem arribat a 44. Per tant, els dos nombres són 4 i 11.


Solució 2: sistema d'equacions 
Diguem als dos nombres cercats. Suposarem que sigui el major dels dos.

Que es duguin una diferència de 7 unitats s'escriu:

Que el producte sigui 44 s'escriu:

Aleshores obtenim el sistema d'equacions:

El resolem per substitució. Per això, aïllam a la primera equació i la substituïm a la segona.

Desenvolupam l'equació i la preparam:

Aplicam l'equació de segon grau amb

De les dues solucions descartam la negativa perquè ens demanen dos nombres positius.

De les expressions i s'obtenen els nombres cercats, que són i


Solució 3: equació de segon grau 
Diguem a un dels nombres, el més petit de tots dos.

Aleshores l'altre nombre haurà de ser perquè es puguin diferenciar en 7 unitats.

Escrivim l'equació "el producte dels dos nombres és 44"

Desenvolupam l'equació, l'ordenam i la resolem amb la fórmula general:

Resolem l'equació com abans i obtenim les solucions 4 i 11.


Un altre problema similar seria el següent:

Troba dos nombres positius sabent que es diferencien en 7 unitats i el seu producte és 60.

Problema 4[modifica]

Reparteix el nombre 20 en dues parts enteres positives de manera que la suma dels seus quadrats sigui 202

Solució 1: assaig i error 
El nombre 20 es pot repartir en les quantitats següents:
  • 0 i 20
  • 1 i 19
  • 2 i 18
  • 3 i 17
  • 4 i 16
  • 5 i 15
  • 6 i 14
  • 7 i 13
  • 8 i 12
  • 9 i 11
  • 10 i 10

Realitzam la suma dels quadrats de cada parell:

Aleshores la solució és el parell 9 i 11.


Solució 2: sistema d'equacions 
Diguem als dos nombres cercats.

Que el nombre 20 es repartesqui en dues parts s'escriu:

Que la suma dels quadrats sigui 202 s'escriu:

Aleshores obtenim el sistema d'equacions:

El resolem per substitució. Per això, aïllam y a la primera equació i substituïm a la segona:

Desenvolupam l'equació i l'ordenam:

Podem simplificar entre 2:

Aplicam la fórmula general amb

Per tant, els nombres cercats són 11 i 9.


Solució 3: equació de segon grau 
Diguem a una de les parts. L'altra part haurà de ser (perquè la suma de totes dues ha de ser 20)

Escrivim l'equació "la suma del quadrat de cada nombre és 202"

Desenvolupam l'equació, l'ordenam i la resolem amb la fórmula general:

Aquesta equació es pot continuar resolent com en el cas anterior fins que obtenim la solució.

Els nombres cercats són 11 i 9.

De comprovació[modifica]

  1. Un triangle rectangle té de perímetre 24 m i la longitud d'un catet és 3/4 de l'altre. Troba la longitud dels seus costats.
  2. Calcula el valor de m sabent que x=3 és solució de l'equació de segon grau
  3. La diagonal d'un rectangle té 10 cm. Calcula les seves dimensions si el petit mesura 3/4 del costat gran.
  4. Esbrina el valor dels coeficients b i c en l’equació de segon grau , per tal que les seves solucions siguin 3 i −2
  5. Un camp de futbol mesura 30 m més de llargada que d'amplada i la seva àrea és de 7000 m2. Troba les seves dimensions
  6. Tenim un filferro de 17 cm. Com l'hem de doblegar per tal que formi un angle recte, de manera que els seus extrems quedin a 13 cm?
  7. La diagonal d'un rectangle mesura 10 cm. Troba les seves dimensions si un costat mesura 2 cm menys que l'altre