Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/ESPA/Matemàtiques/Matemàtiques 2.2/Unitat 1. L'equació de segon grau/Problemes

Llista de problemes.

De plantejament i resolució

Problema 1

Troba dos nombres naturals sabent que sumen 18 unitats i el seu producte és 77

Solució 1: assaig i error 

Si dos nombres naturals han de sumar 18, hi ha les següents possibilitats: 0 i 18 1 i 17 2 i 16 3 i 15 4 i 14 5 i 13 6 i 12 7 i 11 8 i 10 9 i 9 Totes les possibilitats sumen 18, però no totes tenen com a producte 77. Per exemple $0\cdot 18=0\neq 77$. Realitzam les operacions de multiplicació. $0\cdot 18=0$ $1\cdot 17=17$ $2\cdot 16=32$ $3\cdot 15=45$ $4\cdot 14=56$ $5\cdot 13=18$ $6\cdot 12=72$ $7\cdot 11=77$ $8\cdot 10=80$ $9\cdot 9=81$ Com es pot observar, l'únic parell que té producte 77 és 7 i 11.

Solució 2: fórmules de Viète 

Les fórmules de Viète ens relacionen les solucions d'una equació de segon grau amb el seu producte i la seva suma. Si $x^{2}+bx+c=0$ aleshores les solucions $r,s$ compleixen que: El producte: $r\cdot s=c$ La suma: $r+s=-b$ Per tant, construim l'equació $x^{2}-18x+77=0$ Per les fórmules de Viète, les solucions $r,s$ compliran que: El producte $r\cdot s$ serà $c$, és a dir, 77. La suma $r+s$ serà $-b$, és a dir, 18 Resolem l'equació tenint en compte que $a=1$, $b=-18$, $c=77$ $x={\dfrac {+18\pm {\sqrt {(-18)^{2}-4\cdot 1\cdot 77}}}{2\cdot 1}}={\dfrac {18\pm {\sqrt {16}}}{2}}={\dfrac {18\pm 4}{2}}={\begin{cases}{\dfrac {18+4}{2}}=11\\{\dfrac {18-4}{2}}=7\end{cases}}$ Els números 7 i 11 compleixen l'enunciat: Sumats donen 18 Multiplicats donen 77

Solució 3: sistema d'equacions 

Diguem $x,y$ als dos nombres cercats. Que la suma sigui 18 s'escriu: $x+y=18$ Que el producte sigui 77 s'escriu: $x\cdot y=77$ Aleshores obtenim un sistema d'equacions: $\left\lbrace {\begin{array}{rcl}x+y&=&18\\x\cdot y&=&77\end{array}}\right.$ El resolem per substitució. Per això, aïllam la $y$ a la primera equació i la substituïm a la segona equació. $y=18-x$ $x\cdot (18-x)=77$ Arreglam l'equació obtenguda: $18x-x^{2}=77$ $-x^{2}+18x-77=0$ Canviam el signe a tota l'equació: $x^{2}-18x+77=0$ Aplicam la fórmula general amb $a=1,b=-18,c=77$ com abans i obtenim les solucions 7 i 11.

Un altre problema similar seria el següent:

Troba dos nombres la suma dels quals sigui 10 i el seu producte, 24

Problema 2

La suma d'un nombre natural i el seu quadrat és 42. De quin nombre es tracta?

Solució 1: assaig i error 

Escrivim alguns números com a exemples i calculam quin seria el resultat: Amb 1, la suma $1+1^{2}=2$ Amb 2, la suma $2+2^{2}=6$ Amb 3, la suma $3+3^{2}=12$ Continuam la llista fins que trobem el resultat o ens passem. Amb 4, la suma $4+4^{2}=20$ Amb 5, la suma $5+5^{2}=30$ Amb 6, la suma $6+6^{2}=42$ Ens aturam al 6 i per tant aquest és el nombre solució.

Solució 2: equació de segon grau 

Diguem $x$ al nombre que demanen. Aleshores escrivim la "suma del nombre i el seu quadrat és 42" com $x+x^{2}=42$ Obtenim una equació de segon grau. Col·locam i ordenam tots els termes al primer membre. $x^{2}+x-42=0$ Resolem: $x={\dfrac {-1\pm {\sqrt {1^{2}-4\cdot 1\cdot (-42)}}}{2\cdot 1}}={\dfrac {-1\pm {\sqrt {169}}}{2}}={\dfrac {-1\pm 13}{2}}={\begin{cases}{\dfrac {-1+13}{2}}=6\\{\dfrac {-1-13}{2}}=-7\end{cases}}$ Descartam la solució negativa perquè l'enunciat demana un nombre natural. El nombre cercat és 6

Problema 3

Troba dos nombres naturals positius que es diferencien en 7 unitats, sabent que el seu producte és 44

Solució 1: assaig i error 

Si un dels nombres és 1, l'altre hauria de valer 8; si un és 2, l'altre és 9. Podem escriure la llista de nombres positius que es diferencien en 7 unitats: 1 i 8 2 i 9 3 i 10 4 i 11 Etc N'hi ha infinits. Per a cada parell calculam el producte. Continuam la llista fins que arribem a 44 o el sobrepassem. $1\times 8=8$ $2\times 9=18$ $3\times 10=30$ $4\times 11=44$ Hem arribat a 44. Per tant, els dos nombres són 4 i 11.

Solució 2: sistema d'equacions 

Diguem $x,y$ als dos nombres cercats. Suposarem que $x$sigui el major dels dos. Que es duguin una diferència de 7 unitats s'escriu: $x-y=7$ Que el producte sigui 44 s'escriu: $x\cdot y=44$ Aleshores obtenim el sistema d'equacions: $\left\lbrace {\begin{array}{rcl}x-y&=&7\\x\cdot y&=&44\end{array}}\right.$ El resolem per substitució. Per això, aïllam $x$ a la primera equació i la substituïm a la segona. $x=7+y$ $(7+y)\cdot y=44$ Desenvolupam l'equació i la preparam: $7y+y^{2}=44$ $y^{2}+7y-44=0$ Aplicam l'equació de segon grau amb $a=1,b=7,c=-44$ $x={\dfrac {-7\pm {\sqrt {7^{2}-4\cdot 1\cdot (-44)}}}{2\cdot 1}}={\dfrac {-7\pm {\sqrt {225}}}{2}}={\dfrac {-7\pm 15}{2}}={\begin{cases}{\dfrac {-7+15}{2}}=4\\{\dfrac {-7-15}{2}}=-11\end{cases}}$ De les dues solucions descartam la negativa perquè ens demanen dos nombres positius. De les expressions $x$ i $x+7$ s'obtenen els nombres cercats, que són $4$ i $11$

Solució 3: equació de segon grau 

Diguem $x$ a un dels nombres, el més petit de tots dos. Aleshores l'altre nombre haurà de ser $x+7$ perquè es puguin diferenciar en 7 unitats. Escrivim l'equació "el producte dels dos nombres és 44" $x\cdot (x+7)=44$ Desenvolupam l'equació, l'ordenam i la resolem amb la fórmula general: $x^{2}+7x=44$ $x^{2}+7x-44=0$ Resolem l'equació com abans i obtenim les solucions 4 i 11.

Un altre problema similar seria el següent:

Troba dos nombres positius sabent que es diferencien en 7 unitats i el seu producte és 60.

Problema 4

Reparteix el nombre 20 en dues parts enteres positives de manera que la suma dels seus quadrats sigui 202

Solució 1: assaig i error 

El nombre 20 es pot repartir en les quantitats següents: 0 i 20 1 i 19 2 i 18 3 i 17 4 i 16 5 i 15 6 i 14 7 i 13 8 i 12 9 i 11 10 i 10 Realitzam la suma dels quadrats de cada parell: $0^{2}+20^{2}=400$ $1^{2}+19^{2}=362$ $2^{2}+18^{2}=328$ $3^{2}+17^{2}=298$ $4^{2}+16^{2}=272$ $5^{2}+15^{2}=250$ $6^{2}+14^{2}=232$ $7^{2}+13^{2}=218$ $8^{2}+12^{2}=208$ $9^{2}+11^{2}=202$ $10^{2}+10^{2}=200$ Aleshores la solució és el parell 9 i 11.

Solució 2: sistema d'equacions 

Diguem $x,y$ als dos nombres cercats. Que el nombre 20 es repartesqui en dues parts s'escriu: $x+y=20$ Que la suma dels quadrats sigui 202 s'escriu: $x^{2}+y^{2}=202$ Aleshores obtenim el sistema d'equacions: $\left\lbrace {\begin{array}{rcl}x+y&=&20\\x^{2}+y^{2}&=&202\end{array}}\right.$ El resolem per substitució. Per això, aïllam y a la primera equació i substituïm a la segona: $y=20-x$ $x^{2}+(20-x)^{2}=202$ Desenvolupam l'equació i l'ordenam: $x^{2}+400-40x+x^{2}=202$ $2x^{2}-40x+198=0$ Podem simplificar entre 2: $x^{2}-20x+99=0$ Aplicam la fórmula general amb $a=1,b=-20,c=99$ $x={\dfrac {+20\pm {\sqrt {(-20)^{2}-4\cdot 1\cdot 99}}}{2\cdot 1}}={\dfrac {20\pm {\sqrt {4}}}{2}}={\dfrac {20\pm 2}{2}}={\begin{cases}{\dfrac {20+2}{2}}={\dfrac {22}{2}}=11\\{\dfrac {20-2}{2}}={\dfrac {18}{2}}=9\end{cases}}$ Per tant, els nombres cercats són 11 i 9.

Solució 3: equació de segon grau 

Diguem $x$ a una de les parts. L'altra part haurà de ser $20-x$ (perquè la suma de totes dues ha de ser 20) Escrivim l'equació "la suma del quadrat de cada nombre és 202" $x^{2}+(20-x)^{2}=202$ Desenvolupam l'equació, l'ordenam i la resolem amb la fórmula general: $x^{2}+400-40x+x^{2}=202$ $2x^{2}-40x+198=0$ Aquesta equació es pot continuar resolent com en el cas anterior fins que obtenim la solució. Els nombres cercats són 11 i 9.

De comprovació

1. Un triangle rectangle té de perímetre 24 m i la longitud d'un catet és 3/4 de l'altre. Troba la longitud dels seus costats.
2. Calcula el valor de m sabent que x=3 és solució de l'equació de segon grau $x^{2}-mx+27=0$
3. La diagonal d'un rectangle té 10 cm. Calcula les seves dimensions si el petit mesura 3/4 del costat gran.
4. Esbrina el valor dels coeficients b i c en l’equació de segon grau $7x^{2}+bx+c=0$, per tal que les seves solucions siguin 3 i −2
5. Un camp de futbol mesura 30 m més de llargada que d'amplada i la seva àrea és de 7000 m². Troba les seves dimensions
6. Tenim un filferro de 17 cm. Com l'hem de doblegar per tal que formi un angle recte, de manera que els seus extrems quedin a 13 cm?
7. La diagonal d'un rectangle mesura 10 cm. Troba les seves dimensions si un costat mesura 2 cm menys que l'altre