Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/ESPA/Matemàtiques/Matemàtiques 2.2/Unitat 1. L'equació de segon grau/Problema 1 - Billet que cau

Salta a la navegació Salta a la cerca

Experiment del billet que cau[modifica]

Hi ha un experiment que consisteix a col·locar un billet entre els dits d'una altra persona i demanar-li si és capaç d'agafar-lo a partir del moment que el deixam caure. És important no donar-li pistes de quan caurà. El podrà agafar?


Resulta impossible agafar-lo. Per què? Les matemàtiques ens donen una explicació.

El temps de reacció[modifica]

El temps de reacció és el temps que transcorre entre l'estimulació d'un òrgan sensorial i l'inici d'una resposta o una reacció.[1]

A l'experiment indicat, el temps de reacció mesura el temps entre el moment en què els ulls veuen que el regle cau i el moment en què aquesta persona mou els dits per poder agafar el regle.

Explicació matemàtica[modifica]

Si tenguéssim una càmera d'alta velocitat podríem anotar les dades següents:

  • Quan ha transcorregut 0.1 segons, la distància caiguda ha estat de 49 mm
  • Quan ha transcorregut 0.2 segons, la distància caiguda ha estat de 196 mm
  • Quan ha transcorregut 0.3 segons, la distància caiguda ha estat de 441 mm

Aquestes 3 dades serveixen per establir una propietat d'aquest experiment: amb mètodes matemàtics (amb la possible ajuda del Geogebra), es pot deduir que en aquest experiment hi intervé l'equació següent:

El temps s'expressa en segons i la distància recorreguda pel billet està expressada en metres.

Aquest és un exemple de funció quadràtica perquè hi apareixen les variables elevades al quadrat, en aquest cas només la variable . De vegades també ho veureu amb el nom de model quadràtic.

El valor numèric[modifica]

Si donam valors a la variable i operam, els resultats són les diverses distàncies que recorre el billet. Per exemple, si ha transcorregut 1 segon des que s'ha alliberat el billet, aleshores el resultat ens donarà quants de metres ha caigut des de la posició inicial:

Quan segons, aleshores

Per tant, al cap de 1 segon, el billet ha caigut gairebé 5 metres.

Si segons, aleshores

La distància caiguda encara és gran. Hem reduït el temps a la meitat però la distància s'ha reduït bastant més. Vegem què passa per a altres fraccions de segon.

Substitució amb t=0.1

Si , aleshores

Substitució amb t=0.2

Si , aleshores

Substitució amb t=0.3

Si , aleshores

Substitució amb t=0.4

Si , aleshores

El resultat de les diverses seqüències d'operacions amb el seu resultat final s'anomena valor numèric. Com es pot observar, aquest valor numèric depèn del valor que assignem a la variable, en aquest cas .

Taules de valors[modifica]

Podem ordenar aquests resultats a una taula a dues columnes de la forma següent:

0,1 0,049
0,2 0,196
0,3 0,441
0,4 0,784
0,5 1,225
1 4,9

El temps està expressat en segons i la distància em metres.

O bé en dues files, segons com volguem mostrar les dades:

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 1
0,049 0,196 0,441 0,784 1,225 4,9

A aquest tipus de taules, que recullen les dades de dues variables (o fins i tot més), se les anomena taules de valors.

metres mil·límetres centímetres
0,1 0,049 m 49 mm
0,2 0,196 m 196 mm
0,3 0,411 m 441 mm
0,4 0,784 m 784 mm
0,5 1,225 m 1225 mm
1 4,9 m 4900 mm

Representació gràfica[modifica]

En el primer gràfic s'han representat els punts entre els moments 0 i 0.5. El punt corresponent a s'ha escapat del gràfic.

En el segon gràfic s'han representat tots els punts calculats. Com es pot comprovar els punts tenen cada vegada més altura.

Conclusions[modifica]

Si observam la taula de valors, comprovam que els valors són cada vegada més grans. En el gràfic, també s'observa un creixement de les altures a mesura que el temps avança. I a més, la diferència és cada vegada més gran.

Si la persona que ha d'agafar el billet tarda 2 dècimes de segon, el billet ja ha caigut gairebé 20 cm. Si tarda 1 dècima de segon, el billet ja ha caigut gairebé 5 cm. Per tant, aquesta persona hauria de tardar menys d'una dècima de segon perquè la distància es reduís per davall els 5 cm i d'aquesta forma en el moment de tancar els dits el billet encara hi seria. Certament, reduir aquest temps per davall de la dècima de segon és pràcticament impossible.

Referències[modifica]

  1. Viquipèdia, Tiempo de reacción.