Matemàtiques (nivell ESO)/Aplicacions dels polinomis

Dreceres ràpides: navegació, cerca

Els polinomis tenen moltes aplicacions, no només als diversos àmbits de la ciència, sinó també al dia a dia.

Interès compost[modifica]

Per calcular el capital final produït per un cert capital a interès compost durant una sèrie d'anys, es fa servir la fórmula següent

CF = CI\cdot (1+i)^n

Correspon a un monomi de dues variables.

Coloració de grafs[modifica]

Coloració de grafs. El polinomi cromàtic indica el nombre de maneres de colorar un graf a partir d'un nombre fixat de colors.

Alguns grafs molt coneguts i el seu polinomi cromàtic

Complete Graph K3.svg El triangle K_3 t(t-1)(t-2)\
Complete graph K6.svg Graf complet K_n t(t-1)(t-1)\dots (t-(n-1))\
Undirected 6 cycle.svg Cicle C_n (t-1)^n+(-1)^n(t-1) \
Petersen graph blue.svg Graf de Petersen t (t-1) (t-2) (t^7 - 12t^6 + 67t^5 - 230t^4 + 529t^3 - 814t^2 + 775 t - 352)
Graf llibre B_n (t-1)t(t^2-3t+3)^n\
Graf centpeus (t-1)^{2n-1}t\
Path graph P4.svg Graf camí P_n t(t-1)^{n-1}\
Star graphs.svg Graf estrella S_n t(t-1)^{n-1}\
Wheel graphs.svg Graf roda W_n t\left[(t-2)^{n-1}-(-1)^n(t-2)\right]


Calculant el valor numèric de qualsevol d'aquests polinomis per a un cert valor de la indeterminada, el resultat és el nombre de coloracions possibles per al graf associat usant tants de colors com indiqui el valor d'aquesta indeterminada. Per exemple, agafant el graf estrella de 3 vèrtexs i 4 colors, S_3(4) = 4(4-1)^{3-1}=36, de manera que aquest graf admet 36 coloracions diferents.

Interpolació polinòmica[modifica]

Aproximació de funcions[modifica]

Oftalmologia i optometria[modifica]

Descripció d'aberracions de la còrnia o de lens en oftalmologia i optometria respecte d'una forma esfèrica ideal, que condueixen a errors de refracció. Per a aquest propòsit s'usen els anomenats polinomis de Zernicke.

Els primers polinomis radials no nuls emprats en la definició dels polinomis de Zernike són:[1]

  • R_0^0(\rho) = 1
  • R_1^1(\rho) = \rho
  • R_2^0(\rho) = 2\rho^2-1
  • R_2^2(\rho) = \rho^2
  • R_3^1(\rho) = 3\rho^3-2\rho
  • R_3^3(\rho) = \rho^3
  • R_4^0(\rho) =	6\rho^4-6\rho^2+1
  • R_4^2(\rho) = 4\rho^4-3\rho^2
  • R_4^4(\rho) = \rho^4

Els 9 primers polinomis de Zernike són:

Polinomi de Zernike Aberracions
z_0 = 1\ piston
z_1 = x\ x-tilt
z_2 = y\ y-tilt
z_3 = -1 + 2 (x^2 + y^2)\ focus
z_4 = x^2-y^2\ astigmatisme a 0º i focus
z_5 = 2xy\ astigmatisme a 45º i focus
z_6 = -2 x + 3 x (x^2 + y^2)\ coma i x-tilt
z_7 = -2 y + 3 y (x^2 + y^2)\ coma i y-tilt
z_8 = 1 - 6 (x^2 + y^2) + 6 (x^2 + y^2)^2\ esfèric i focus

La resta de polinomis fins al z_{15} són:

  • z_9 = x^3 - 3 x y^2
  • z_{10} = 3 x^2 y - y^3
  • z_{11} = -3 x^2 + 3 y^2 + 4 x^2 (x^2 + y^2) - 4 y^2 (x^2 + y^2)
  • z_{12} = -6 x y + 8 x y (x^2 + y^2)
  • z_{13} = 3 x - 12 x (x^2 + y^2) + 10 x (x^2 + y^2)^2
  • z_{14} = 3 y - 12 y (x^2 + y^2) + 10 y (x^2 + y^2)^2
  • z_{15} = -1 + 12 (x^2 + y^2) - 30 (x^2 + y^2)^2 + 20 (x^2 + y^2)^3

Referències[modifica]

  1. Weisstein, Eric W. "Zernike Polynomial." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ZernikePolynomial.html

Enllaços externs[modifica]